行列の固有値と固有ベクトルは、線形代数において重要な概念であり、数学だけでなく、統計学や経済学、物理学、コンピューター・サイエンスなど様々な分野において不可欠な概念です。 あまりにも多くの分野において中核を担っている概念であるため、これをどのように利用するのかを解説しようとすると、それだけで一冊の本では収まりきらないほどの分量になります。 それでもほんの一例として、たとえば、コンピューター・サイエンスにおける利用例を挙げると、固有値・固有ベクトルは、 Google …
ベクトル
ベクトルの外積とは何か？幾何学的な意味と計算方法の徹底解説
ベクトルの外積とは、「2本のベクトルが作る平行四辺形に対して、垂直な方向に働く新しいベクトル」のことです。そして、ベクトル \(\vec{v}\) と \(\vec{w}\) があるとき、外積は \(\vec{v}\times \vec{w}\) …
ベクトルの内積とは？その意味と計算方法が丸わかりできる解説
ベクトルの内積は、一般的に、「一方のベクトル \(\vec{v}\) に対して垂直な光を当てたときに、ベクトル \(\vec{v}\) 上にできるベクトル \(\vec{w}\) の射影の長さと、元のベクトル\(\vec{v}\) …
行列とベクトルの積とは何か？計算方法と幾何学的な意味を徹底解説
ベクトルと行列の積は、簡単に言うと「ベクトルを行列に入力して新たなベクトルを出力すること」です。これは、線形代数のさまざまな概念を理解する上で中核となるものです。 当ページでは、このベクトルと行列の積について以下の順番で解説していきます。 ベクトルと行列の積とは一体何かベクトルと行列の積の幾何学的な意味ベクトルと行列の積の計算方法 学習者にとって、きっと目から鱗の発見が満載だと思います。ぜひ楽しんでいただければと思います。 それでは始めましょう。 …
ベクトルの一次独立とは？驚くほど理解できるアニメーション解説
ベクトルの一次独立（「線型独立」ともいう）とは、一言でいうと「空間における基底ベクトルがすべてゼロベクトルではなく、平行関係にない状態」のことです。 このページでは、これが一体何を表しているのかを、誰でも絶対にわかるように、アニメーションを用いて明快に解説していきます。読み終わる頃には、間違いなく、ベクトルの一次独立について理解できるようになっていますので、ぜひ読み進めて頂ければと思います。 …
線形結合とは何か？アニメーション付きで誰でもわかるように解説
線型結合は、線形代数において重要な概念の一つであり、簡単に言えば「ベクトルのスカラー倍と足し算によって、任意のベクトルを表すこと」です。たとえば、2次元ベクトルで言うと \(x\vec{v}+y\vec{w}\) のことです。 このページでは、この線形結合についてアニメーションを用いて誰でもわかるように、詳しく解説していきます。ぜひ学習の役に立てて頂ければと思います。 …
基底ベクトルとは何か？アニメーションで一目で理解
基底ベクトルとは、簡潔に言うなら「空間上のあらゆるベクトルを v=xa+yb のかたちで表すことを可能にするベクトル a, b の組み合わせ」のことです。言葉だけでも理解できないことはないですが、そこからこの意味するところを具体的にイメージするのは難しいと思います。 そこで、このページではこの基底ベクトルについてアニメーションを使いながら誰でもわかるように解説します。ぜひ学習のお役に立てばと思います。 …
ベクトルの分解とは？その方法と幾何学的な意味の解説
ベクトルの分解とは、簡単に言うと「任意のベクトルを、基準となる2本のベクトルの掛け算と和で表すこと」です。 こう聞くと、「なぜわざわざそんな面倒なことをするのか？」と疑問に思うかもしれません。しかしベクトルの分解は線形代数において非常に重要なコンセプトです。なぜならこれは「線型結合」や「ベクトルの独立」といった概念を理解するための基礎となるからです。 そのため是非ここでベクトルの分解についてしっかりと理解しておきましょう。なお理解を確認するための簡単な練習問題もありますので、ぜひあわせてご活用ください。 …
ベクトルの掛け算（積）とは何か？幾何学的な意味と計算方法の解説
ベクトルの掛け算とは簡単に言うと、「ベクトルの向きはそのままで、長さを伸ばしたり縮めたりすること」です。 これはベクトルの和と並んで、線形代数において基礎となる重要な計算です。なぜなら、あらゆるものごとを線形代数的に分析するための土台（「線形空間」と言います）が、このベクトルの和とベクトルの掛け算から成り立っているからです。 そこで、このページでは、これらについてアニメーションを用いながら、ベクトルの掛け算について、視覚的にもわかりやすく解説していきます。ぜひお役立ていただければと思います。 なお、ベクトルの和については『ベクトルの和とは何か？誰でもわかる幾何学的な意味と計算方 …
ベクトルの和とは何か？誰でもわかる幾何学的な意味と計算方法の解説
ベクトルの和は、幾何学的には「二つのベクトルを継ぎ足したときの最終的な座標に対して、原点から伸びる新しいベクトル」です。数学的には「二つのベクトルの座標を成分ごとに足し合わせたもの」です。 これはベクトルの掛け算と並んで、「線形空間」と呼ばれる線形代数の土台を形成する重要な概念の一つです。 当ページでは、このベクトルの和について、アニメーションを使いながら、誰でも簡単に理解できるように解説していきます。 それでは始めましょう。 …
