逆行列の条件の徹底解説~逆行列が存在しないのはどういう場合？~

実は行列式は、別の視点から見た場合、ある行列の列ベクトル同士がお互いに独立しているかどうかを判定するツールであると考えることができます（独立性については「ベクトルの一次独立とは？」をご参照ください）。

例として、以下の行列 \(A\) について考えてみましょう。

\[
\left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array} \right]
\]

この行列の一列目を成分とするベクトルを \(\vec{a}\)、二列目を成分とするベクトルを \(\vec{b}\) としたら、次のようになります（余談ですが、列ベクトルを取っても行ベクトルをとっても同じことですので、どちらでも構いません）。

\[\vec{a}
=
\left[ \begin{array}{cc} 1 \\ 2 \end{array}\right]
,\hspace{3mm}
\vec{b}
=
\left[ \begin{array}{cc} 2 \\ 4 \end{array}\right]
\]

アニメーションで見たら分かる通り、この二つのベクトルは明らかに方向が一致しています。

これは、これらのベクトルがお互いに独立していない・・・・・ということを意味しています。つまり、この場合、この二つのベクトルでは平行四辺形を作ることができないため、二つのベクトルが作る面積は常にゼロになるのです。つまり、ベクトルが独立していないことが行列の非正則性の原因です。

さて、ここまでで \(2×2\) の行列では、二つの列ベクトルが同じ方向を向いている場合（お互いに一次独立していない場合）は逆行列が存在しないということがわかりました。それでは、なぜ行列式の値を計算することで、列ベクトルの独立性を判定することができるのでしょうか？

実はこれは「同じ向きのベクトルの外積はゼロになる」という性質を利用しています（ベクトルの外積については「ベクトルの外積とは何か？」をご参照ください）。

例として以下の正方行列 \(M\) があるとします。

\[ M=
\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right]
\]

この行列\(M\)の一列目を成分としたベクトルを \(\vec{a}\)、二列目を成分としたベクトルを \(\vec{b}\) として、その方向関係を見てみましょう。

\[
\vec{a}=\left[ \begin{array}{c} a \\ c \\0 \end{array} \right]
, \hspace{3mm}
\vec{b}=\left[ \begin{array}{c} b \\ d \\0 \end{array} \right]
\]

なお、各ベクトルの第三成分にゼロを加えているのは、ベクトルの外積は平面空間では求めることができないからです。そのため、ゼロを足すことで擬似的に立体空間における平面状に存在するベクトルとしています。

さて、ベクトルの外積は次のように計算します。

\[
\vec{a}\times\vec{b}=
\left[ \begin{array}{c}
c \cdot 0 – d \cdot 0\\
0 \cdot b – 0 \cdot a \\
ad-bc
\end{array} \right]
\]

このように、\(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) の第三成分がともにゼロであるため、これは結局、次の計算をしていることと全く同じことになります。

\[\vec{a}\times\vec{b}= ad – bc\]

この式の右辺にご注目ください。これは \(2×2\) の行列式の計算と全く同じですね。つまり、\(2×2\) の行列式は、\(2×2\) 行列のそれぞれの列ベクトル同士のベクトルの外積の計算をしているのとまったく同じことになるのです。

そして上述の通り、二つのベクトルが同じ方向を向いている場合、ベクトルの外積はゼロになります。つまり、行列式の値がゼロのということは、二つの列ベクトルが同じ方向を向いているということを表しているため、非正則行列であるということになります。

これが行列式で、ある行列の正則性を判定することができる理由です。

\(3×3\) 行列の場合もまったく同じです。

行列式を計算することは、その行列の三つの列ベクトルがお互いに一次独立しているかどうかを判定しているのと同じことになります。以下の行列 \(M\) を使って見ていきましょう。

\[ M=
\left[ \begin{array}{ccc} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{array} \right]
\]

この行列 \(M\) の各列を成分としたベクトルは、次のように表現することができます（上でもお伝えしましたが、列ベクトルを取っても行ベクトルをとっても同じことですので、どちらでも構いません）。

それでは、これらのベクトルが独立しているかどうかを確認していきましょう。

まず、\(\vec{U}\) と\(\vec{V}\) がお互いに独立しているかどうかを確認します。この二つがお互いに独立しているなら、これらのベクトルは三次元空間において平面を形成していることになります。反対に、お互いに独立していないなら、これらのベクトルは同一方向に重なっており、平面（平行四辺形）を形成できていないことになります。

これは上で解説した \(2×2\)の場合とまったく同じで、ベクトルの外積 \(\vec{U}\times\vec{V}\) の値によって確認することができます。外積は、その性質上、二つのベクトルが同じ向きのとき（＝独立でないとき）にゼロになるからです。

これは次のように計算します。

\[
\vec{U}\times\vec{V}= \left[ \begin{array}{c}
m_{21}m_{32} – m_{22}m_{31}\\
m_{31}m_{12} – m_{32}m_{11} \\
m_{11}m_{22} – m_{12}m_{21}
\end{array} \right]
\]

これで計算した値がゼロなら、お互いに独立ではない・・・・ことになり、残ったベクトル \(\vec{W}\) と関係なく、行列 \(M\) は非正則行列であることが確定します。

一方で、ゼロ以外の場合は、この2つのベクトルは独立であることが確定します。つまり、この2つのベクトルは三次元空間において平面を形成していることになります。そして次は、もう一つのベクトルである \(\vec{W}\) とも独立しているかどうかを確認することが必要になります。

もし \(\vec{W}\) が、\(\vec{U}, \vec{V}\) と同一平面上にないのであれば、三つのベクトルはすべてお互いに独立していることになりますし、同一平面上にあるのであれば独立していないことになります。

それでは、三つのベクトルが同一平面上に存在しているのか・していないのかは、どうやって確認することができるのでしょうか？

結論から言うとベクトルの内積を使えばいいのです。ベクトルの内積には、「直交するベクトル同士の積はゼロになる」という性質があります。つまり、\(\vec{U}\times\vec{V}\) と \(\vec{W}\) の内積がゼロであれば、それらは直交していることになり、それぞれのベクトルは同一平面上に存在することになります。

つまり、\((\vec{U}\times\vec{V})\cdot\vec{W}=0\) のときは非正則で、\((\vec{U}\times\vec{V})\cdot\vec{W}≠0\) のときは正則であるということになります。

そして、これを実際に計算すると次のようになります。

\[\begin{eqnarray}
|M| &=& (\vec{U}\times\vec{V})\cdot\vec{W} \\
&=& (m_{21}m_{32}-m_{22}m_{31})m_{13} \\
& & + (m_{31}m_{12}-m_{32}m_{11})m_{23} \\
& & + (m_{11}m_{22}-m_{12}m_{21})m_{33}
\end{eqnarray}
\]

ここまで来たらもう分かります。この計算式は、\(3×3\) の行列式とまったく同じなのです。

つまり、行列式はやはり、その行列のそれぞれの列ベクトルが独立しているかどうかを判定する式なのです。この値がゼロのときは、列ベクトルが独立していない・・・・・ことになるので逆行列は存在しません。一方で、ゼロ以外のときは列ベクトルがすべて独立していることになるので逆行列が存在します。

以上が行列式で正則性を判定できる理由です。