Generator.multivariate_normal – 多変量正規分布から乱数配列を作成する方法

Generator.multivariate_normalは、多変量正規分布から乱数配列を生成するジェネレータメソッドです。

多変量正規分布（または「多次元正規分布」もしくは「結合正規分布」）は、一次元の正規分布（ガウス分布）を高次元に汎化したものです。この分布は、平均値と共分散行列で特定することができます。多変量正規分布の場合、平均値は平均(average)ではなく中央値(center)を意味し、分散は標準偏差^**2(standard deviation^**2)ではなく幅^**2(width^**2)を意味します。

なお正規分布は以下で解説しています。

• Generator.normal – 任意の平均・標準偏差の正規分布から乱数配列を生成

このGenerator.multivariate_normalについて解説していきます。

1. 書式

Generator.multivariate_normal(mean, cov, size=None, check_valid='warn', tol=1e-8)

Notes

meanは、N次元スペースにおける座標です。これは、乱数が最頻する場所を表します。1次元ベルカーブや単一変量の正規分布のピークと類似したものです。

covarianceは、2つの変数の変化レベルを示します。多変量正規分布からは、N次元の標本 X=[x₁, x₂, …x_N] を取得します。共分散行列の要素C_ijは、x_iとx_jの共分散です。要素C_ijは、x_iの分散です。

共分散行列を完全に特定する代わりに、

• 球面共分散: covは単位行列の積
• 対角共分散: covは対角線上の負の値ではない要素

の近似を含みます。

この幾何学的特性は、生成したデータポイントをプロットすることで2次元で見ることができます。対角共分散は、データポイントはx軸かy軸に沿って分布していることを意味します。

In [1]:

mean = [0, 0]
cov = [[1, 0], [0, 100]]  # 対角共分散

import matplotlib.pyplot as plt
x, y = np.random.default_rng().multivariate_normal(mean, cov, 5000).T
plt.plot(x, y, 'x')
plt.axis('equal')
plt.show()

共分散行列は、必ず正の半定値でなければいけません。そうでない場合は、メソッドが定義されず、後方互換性が保証されません。

2. サンプルコード

それでは、サンプルコードを見ていきましょう。

まずは、random.default_rng コンストラクタでジェネレータオブジェクトを作成します。『numpy.random.default_rng – 乱数生成のためのジェネレータオブジェクトの作成』に目を通しておいてください。

import numpy as np
rng = np.random.default_rng()
rng

Generator(PCG64) at 0x7FB300387E58

こうして作成したジェネレータオブジェクト rng に対して、Generator.multivariate_normalを呼び出すことによって、多変量正規分布から乱数配列を取得することができます。

mean = (1, 2)
cov = [[1, 0], [0, 1]]
rng.multivariate_normal(mean, cov, (3, 3))

array([[[ 0.20467753,  1.46929179],
        [ 1.17177173,  1.27580982],
        [ 4.00138279,  1.25510977]],

       [[ 0.90355236,  2.21832508],
        [-1.63140919,  2.01916067],
        [ 1.80089768,  2.43755707]],

       [[ 0.5108232 ,  0.36725757],
        [ 1.26623889,  2.00696756],
        [ 4.14715722,  1.43490286]]])

0.6 は、標準偏差のおおよそ倍なので、以下はおそらく正でしょう。

x = rng.multivariate_normal(mean, cov, (3, 3))
list((x[0,0,:] - mean) < 0.6)

[True, True]

3. まとめ

以上のように、Generator.multivariate_normalは、多変量正規分布から乱数配列を生成するジェネレータメソッドです。

以前は、numpy.random.multivariate_normal関数が使われていましたが、ジェネレータメソッドを使うようにしましょう。こちらの方が、処理が高速で、大量のデータを扱う科学技術計算に適しているからです。