行列の積(写像の合成)とは、簡単に言うと、空間を異なる複数の行列で続けて線形変換したときに、最終的に空間がどう変形するのかを表すツールです。まずは何も考えずに以下のアニメーションをご覧ください。それだけで、行列の積とは何であるかの理解が大きく深まります。 いかがでしょうか。行列の積とは、このように複数の行列で続けて空間を線形変換することなのです。だからこそ、行列の積は「写像の合成」と言われます。 このページでは、この行列の積について、アニメーションを使いながらさらに深く解説していきます。読み終える頃には、行列に対する概念が深まり、線形代数に対する興味が湧き上がって、ワクワクし …
線形変換とは？誰でも必ず理解できるようにアニメーションで解説
線形変換（または線形写像）とは、簡単に言うと行列とベクトルを掛けることによって空間を変形させるというものです。 しかし、こう言われても理解することは難しいと思います。そこで早速ですが、まずは以下のアニメーションをご覧ください。これを見ると線形変換がどのようなものなのかが一発で理解できます。 いかがでしょうか。線形変換とはこのように空間を様々に変形させる技術のことです。 当ページでは、これからこの線形変換について誰でも簡単に理解できるように、このようなアニメーションを使って、さらに詳しく解説していきます。それによって以下のようなことをスッキリと、そして直感的に理解できるよ …
行列の対角化とは？意味と方法と使い方[練習問題付き]
行列の対角化とは、ある行列の固有値を成分とした対角行列を作ることを意味します。 これはシンプルですが強力なツールであり、経済学から統計学、工学、物理学に到る様々な分野で、主に漸化式や微分方程式を効率よく解くために使われています。 そこで、このページでは、行列の対角化の方法を見ながら、対角化とは何かということを具体的に解説します。その後に行列の対角化の最も一般的な使い方である、行列の累乗の簡単な求め方を解説します。 そして最後に、理解を深めるために役立つ練習問題を用意しています。 ぜひ、行列の対角化に対する理解を深めるために役立てて頂ければ幸いです。それでは始めましょう。 …
線形代数のための行列の固有値と固有ベクトルの計算方法
行列の固有値の計算は、線形代数において重要な概念であり、数学だけでなく、統計学や経済学、物理学など様々な分野においても不可欠な技術です。また、これらは様々な計算で必須のツールである「行列の対角化」にも欠かすことができません。 そこで、このページでは、まず固有値・固有ベクトルとは何かということと、行列から固有値と固有ベクトルを計算する方法をじっくりと解説します。 そして、その後に簡単な練習問題を用意していますので、ぜひご自分でも解いてみてください。読み終える頃には、固有値と固有ベクトルについて完璧に理解していることでしょう。 それでは始めます。 …
行列式の展開とは？余因子と小行列式と代表的な公式
行列式の展開とは、簡単に言うと、ある行列式を次元が一つ下の行列式の和で表すことです。これは、逆行列の公式を導く上で重要なテクニックであり、線形代数では必ず学ぶことになります。 そこでこのページでは、まずこの行列式の展開について、わかりやすく、そして詳しく解説します。その過程で… 行列式の展開とは何か小行列とは何か余因子とは何か といった基本的な知識をバッチリと得ていただくことができます。 そして後半では、行列式の展開を使って、有名な逆行列の公式とクラメルの公式を求める方法を見ていきます。その過程で、行列式に対する理解を大きく深めることができますし、「クロネッカーのデルタ」 …
連立方程式を行列で解く方法｜行の基本変形と掃き出し法とは
行列で連立方程式の解を求めるのは、最も基本的な行列の使い方の一つです。とてもシンプルなものですが、行列を扱う上でなくてはならない技術です。 また、普通の解き方では、未知数が何十何百もあるような連立方程式に対応することはほとんど不可能です。しかし、行列とコンピュータの力を借りると、どれだけ未知数が多い連立方程式でも解くことができます。 とても重要な技術なので、ぜひ、このページでしっかりと学んでいただければと思います。 なお、このページで行列での連立方程式の解き方を学ぶ過程で… 単位行列とは何か行列の基本変形とは何か掃き出し方法とは何か といった重要な概念についてもバッ …
行列式って何？定義や使い方がバッチリ分かる解説
行列式とは簡単にいうと、線形代数において、ある正方行列に逆行列が存在するかどうかを判定するための重要な指標であり、計算方法です。行列式なので、行列ではなく、計算結果として算出される一つの値(スカラー）です。 線形代数において逆行列は非常に重要なものであるため、行列式も最も重要な判定式の一つです。 この行列式について、これから必ずよく使うことになる 2×2 行列の場合の計算方法と 3×3 …
ベクトルの一次独立とは？非理系でも必ずわかる解説
ベクトルが一次独立(線型独立)であるとは、線形代数学的に説明すると、「対象となっている n 本のベクトルが張る空間が n …
ベクトルの分解とそのやり方〜線形代数の理解のための基礎知識〜
ベクトルの分解とは、あるベクトルを第 n 成分ごとに分けて、\(\vec{v} = a\vec{e}_1 + b\vec{e}_2 + c\vec{e}_3\) と表現することをいいます。このページでは、ベクトルの分解の方法と、ベクトルを分解して表示することの意義をわかりやすく解説します。 概念自体はとてもシンプルですが、ベクトルを分解して考えるということは、数学的な思考力を鍛えるという面でも、線形代数学に応用するという面でも、基礎になります。 そのためにも、じっくりご覧頂ければ嬉しく思います。 …
逆行列って何？求め方や線形代数の理解のために抑えるべきポイント
逆行列は、行列についての理解を深めるためにも最適な概念の一つです。そして、それは線形代数の理解にも役立ちます。線形代数学は、今では、物理学の世界だけでなくプログラミングにも必須の学問になっています。 そのため、このページでは、逆行列について初めて勉強するという方でも、あらゆる分野に幅広く対応できるようになるための本質的な知識を得られるようにするために、逆行列について、どこよりも深く解説していくことにします。 具体的には、次のような事柄に関して本質的な理解を得られます。 そもそも逆行列とは何か最も確実な逆行列の求め方正則行列と非正則行列とは何か行列式を用いて行列の正則性を判定する …
ベクトルの外積とは何か？公式と計算方法も含めて誰でもわかる解説
ベクトル \( \vec{I}\) と \( \vec{B}\) がある時、これらのベクトルの外積は「 \( \vec{I}\times\vec{B} \)」と書き、「アイ・クロス・ビー」などと読みます。 さて、ベクトルの外積とは一体どういう意味があるものなのでしょうか。そして、どのような公式で計算するのでしょうか？こうした点について、ベクトルの外積に初めて触れるという方でも深く理解できるように、詳しく解説していきます。 ぜひ参考にして頂ければと思います。 …
ベクトルの内積の意味と求め方【初学者のための詳しい解説】
ベクトル \( \vec{a}\) と \( \vec{b}\) がある時、これらのベクトルの内積は「 \( \vec{a} \cdot \vec{b}\) 」と書きます。「エー・ドット・ビー」などと読みます。 さて、このベクトルの内積は一体何を意味しているのでしょうか。そして、どのように求めることができるのでしょうか？ これは、一見すると算数の掛け算と似た概念に思えますが、実際はまったくの別物です。算数の掛け算では、\( \vec{a}\) を \( \vec{b}\) 倍するという意味になりますが、そもそも \( \vec{b}\) …