行列の固有値の計算は、線形代数において重要な概念であり、数学だけでなく、統計学や経済学、物理学など様々な分野においても不可欠な技術です。また、これらは様々な計算で必須のツールである「行列の対角化」にも欠かすことができません。 そこで、このページでは、まず固有値・固有ベクトルとは何かということと、行列から固有値と固有ベクトルを計算する方法をじっくりと解説します。 そして、その後に簡単な練習問題を用意していますので、ぜひご自分でも解いてみてください。読み終える頃には、固有値と固有ベクトルについて完璧に理解していることでしょう。 それでは始めます。 …
ベクトルの外積とは何か？幾何学的な意味と計算方法の徹底解説
ベクトルの外積とは、「2本のベクトルが作る平行四辺形に対して、垂直な方向に働く新しいベクトル」のことです。そして、ベクトル \(\vec{v}\) と \(\vec{w}\) があるとき、外積は \(\vec{v}\times \vec{w}\) …
ベクトルの内積とは？その意味と計算方法が丸わかりできる解説
ベクトルの内積は、一般的に、「一方のベクトル \(\vec{v}\) に対して垂直な光を当てたときに、ベクトル \(\vec{v}\) 上にできるベクトル \(\vec{w}\) の射影の長さと、元のベクトル\(\vec{v}\) …
行列の計算方法のまとめ~線形代数で特に重要なもの3つを徹底理解！~
行列は空間を変換する写像（＝関数）であり、線形変換においてなくてはならぬツールです。ここでは、この行列について、線形代数で非常に重要な以下の3つの計算方法を解説していきます。 ベクトルと行列の積正方行列と正方行列の積非正方行列と正方行列の積 この3つの計算は線形代数において特別に重要なです。そして、これらを使いこなすには、単に計算ができるというだけでは不十分です。実際にこれらの計算にどういう意味があるのかも理解しておかなければなりません。むしろ、こちらの方が重要です。 このページでは、アニメーションを用いながら、これらの点について圧倒的にわかりやすく解説していきます。これがあな …
逆行列とは？線形代数のために抑えておくべきポイントまとめ
逆行列は、線形代数において重要な概念の一つです。このページは、逆行列について初めて勉強するという方にとっても、既に知っているという方にとっても役に立つように、逆行列に関する重要なポイントをわかりやすく手軽に確認できるようにまとめたものです。 そして、それぞれの章では、そのトピックに対してより詳しく解説しているページへのリンクも用意しています。 ぜひ、逆行列の本質的な理解のために助けになれば嬉しく思います。 それでは早速始めていきましょう。 …
行列式とは？意味と定義と求め方~行列式とは何か驚くほどよくわかる解説~
行列式は、線形代数において必ずお世話になる計算式であり、様々なことを表す非常に便利な指標です。しかし、教科書を見てみると、「線型変換によって空間の体積要素が何倍に変わるかという概念を抽象化したもの」というように定義されており、なかなか字面だけでは理解することが困難です。 そこで、このページでは行列式を深く理解するための第一歩として、「行列式とは何か？」ということをアニメーションを使って驚くほどよくわかるように解説していきます。 今まで、何なのかよくわからずに計算ばかりしていたという方でも、行列式というものに初めて触れるという方でも、必ず簡単に理解することができます。 それでは始 …
行列の積(掛け算)とは何か？計算方法と意味が圧倒的によくわかる解説
行列の積(掛け算)とは、簡単に言うと、空間を異なる複数の行列で続けて線形変換したときに、空間が最終的にどう変化するのかの計算です。いきなりですが、まずは以下のアニメーションをご覧ください。行列の積とは何であるかが一目でわかります。 このように行列の積とは、複数の行列で続けて線形変換することです。 このページでは、この行列の積について、アニメーションを使いながらさらに深く解説していきます。読み終える頃には、行列に対する理解が深まりスッキリしていることでしょう。そのためにも、ぜひ楽しみながらご覧頂ければ嬉しく思います。 …
線形変換とは？誰でも必ず理解できるようにアニメーションで解説
線形変換（線型写像）とは、簡単に表現するなら「ベクトルと行列の積によって空間が変形すること」を言います。とは言っても、文だけだと意味がサッパリだと思います。そこでいきなりですが、以下に線形変換の様子を表したアニメーションを用意しています。これをご覧いただくと、線形変換がどういうものであるかが一目でわかります。 いかがでしょうか。これが線形変換です。 線形変換は線形代数におけるメインのトピックであり、もっとも面白いところでもあります。このページでは、この線形変換について誰でもわかるように解説していきます。 ぜひ楽しみながら読み進めていただければと思います。 …
ベクトルと行列の積とは何か？計算方法と幾何学的な意味を徹底解説
ベクトルと行列の積は、簡単に言うと「ベクトルを行列に入力して新たなベクトルを出力すること」です。これは言葉で言うと簡単ですが、線形代数のさまざまな概念を理解する上で中核となる知識です。 それにも関わらず、教科書などでは、これが何のためのものなのかをほとんど説明せずに、単に計算方法を教えて、延々と計算させられてしまいます。しかし、本当に重要なのは「ベクトルと行列の積とは一体何をするものなのか」、そして「ベクトルと行列の積の幾何学的な意味」を理解することです。これらを踏まえると、計算を覚えることにも意欲が湧いてくることでしょう。 そのため、当ページでは以下の順番で解説していきます。 …
ベクトルの一次独立とは？驚くほど理解できるアニメーション解説
ベクトルの一次独立（「線型独立」ともいう）とは、一言でいうと「空間における基底ベクトルがすべてゼロベクトルではなく、平行関係にない状態」のことです。 このページでは、これが一体何を表しているのかを、誰でも絶対にわかるように、アニメーションを用いて明快に解説していきます。読み終わる頃には、間違いなく、ベクトルの一次独立について理解できるようになっていますので、ぜひ読み進めて頂ければと思います。 …
線形結合とは何か？アニメーション付きで誰でもわかるように解説
線型結合は、線形代数において重要な概念の一つであり、簡単に言えば「ベクトルのスカラー倍と足し算によって、任意のベクトルを表すこと」です。たとえば、2次元ベクトルで言うと \(x\vec{v}+y\vec{w}\) のことです。 このページでは、この線形結合についてアニメーションを用いて誰でもわかるように、詳しく解説していきます。ぜひ学習の役に立てて頂ければと思います。 …
基底ベクトルとは何か？アニメーションで一目で理解
基底ベクトルとは、簡潔に言うなら「空間上のあらゆるベクトルを v=xa+yb のかたちで表すことを可能にするベクトル a, b の組み合わせ」のことです。言葉だけでも理解できないことはないですが、そこからこの意味するところを具体的にイメージするのは難しいと思います。 そこで、このページではこの基底ベクトルについてアニメーションを使いながら誰でもわかるように解説します。ぜひ学習のお役に立てばと思います。 …