行列の基本変形は、「①ある行をスカラー倍する」「②ある行と別の行を入れ替える」「③スカラー倍した行を別の行に足す」という３つの操作のことです。これは連立方程式を行列を使って解いたり、逆行列を求める際に使う基本的なテクニックです。 当ページでは、この行列の基本変形についての基本を解説し、その後に、これらの操作は具体的には何をしていることを意味するのかという点について深く解説していきます。 読み終わる頃には、なぜ、これらの３つの操作で連立方程式を解いたり、逆行列を求めたりすることができるのかがハッキリとわかるようになっていることでしょう。 なお連立方程式と逆行列については以下のペー …
行列の階数（ランク）とは何か？その意味と求め方をわかりやすく解説
行列の階数（ランク）とは、「その行列で線形変換を行ったときに、空間が何次元になるのか」を示すものです。 これにはどういう意義があるのでしょうか？ 『正則行列とは何かがアニメーションで驚くほどよくわかる解説』でお伝えした通り、ある行列が正則行列なのか、それとも非正則行列なのかの判定は、行列式の値がゼロ以外なのか、それともゼロなのかで判定することができます。 しかし、行列式がゼロの場合（＝非正則行列の場合）でも、線形変換はまったく同じようなものになるわけではありません。「それでは、どのような線形変換になるのか？」ということを具体的にしてくれる指標の一つが行列の階数（ランク）です。 …
正則行列とは何かがアニメーションで驚くほどよくわかる解説
正則行列（「非特異行列」または「可逆行列」ともいう）とは、逆行列をもつ正方行列のことです。当ページでは、この正則行列について、誰でも直感的に、かつ確実に理解できるようにアニメーションを用いながら、わかりやすく解説していきます。 正則行列とは何かということが必ずわかるようになりますので、ぜひご覧ください。 …
固有値と固有ベクトルとは何か？幾何学的意味と計算方法の解説
行列の固有値と固有ベクトルは、線形代数において重要な概念であり、数学だけでなく、統計学や経済学、物理学、コンピューター・サイエンスなど様々な分野において不可欠な概念です。 あまりにも多くの分野において中核を担っている概念であるため、これをどのように利用するのかを解説しようとすると、それだけで一冊の本では収まりきらないほどの分量になります。 それでもほんの一例として、たとえば、コンピューター・サイエンスにおける利用例を挙げると、固有値・固有ベクトルは、 Google …
ベクトルの外積とは何か？幾何学的な意味と計算方法の徹底解説
ベクトルの外積とは、「2本のベクトルが作る平行四辺形に対して、垂直な方向に働く新しいベクトル」のことです。そして、ベクトル \(\vec{v}\) と \(\vec{w}\) があるとき、外積は \(\vec{v}\times \vec{w}\) …
ベクトルの内積とは？その意味と計算方法が丸わかりできる解説
ベクトルの内積は、一般的に、「一方のベクトル \(\vec{v}\) に対して垂直な光を当てたときに、ベクトル \(\vec{v}\) 上にできるベクトル \(\vec{w}\) の射影の長さと、元のベクトル\(\vec{v}\) …
行列の計算方法のまとめ~線形代数で特に重要なもの3つを徹底理解！~
行列は空間を変換する写像（＝関数）であり、線形変換においてなくてはならぬツールです。ここでは、この行列について、線形代数で非常に重要な以下の3つの計算方法を解説していきます。 ベクトルと行列の積正方行列と正方行列の積非正方行列と正方行列の積 この3つの計算は線形代数において特別に重要です。そして、これらを使いこなすには、単に計算ができるというだけでは不十分です。実際にこれらの計算にどういう意味があるのかも理解しておく必要があります。 このページでは、アニメーションを用いながら、これらの点についてわかりやすく解説していきます。これがあなたにとって大きな役に立てば嬉しく思います。 …
逆行列とは何か？その求め方・条件・性質の徹底解説
逆行列とは、簡単に言うと、ある行列で線形変換した空間を元に戻す行列であり、その働きから行列における割り算のようなものと説明されることもあります。 線形代数において中心的かつ重要な概念であり、逆行列がなければできないような計算や処理も多々あります。 当ページでは、この逆行列について知っておくべきポイントのすべてを、誰にでもわかるように解説していきます。 ぜひ参考にして頂ければと思います。 …
行列式とは？意味と定義・求め方・性質を徹底解説
行列式は、線形代数において必ずお世話になる計算式であり、様々なことを表す非常に便利な指標です。しかし、教科書を見てみると、「線型変換によって空間の体積要素が何倍に変わるかという概念を抽象化したもの」というように定義されており、なかなか字面だけでは理解することが困難です。 そこで、このページでは行列式を深く理解するための第一歩として、「行列式とは何か？」ということをアニメーションを使って驚くほどよくわかるように解説していきます。 今まで、何なのかよくわからずに計算ばかりしていたという方でも、行列式というものに初めて触れるという方でも、必ず簡単に理解することができます。 それでは始 …
行列の積(掛け算)とは何か？計算方法と意味が圧倒的によくわかる解説
行列の積(掛け算)とは、簡単に言うと、空間を異なる複数の行列で続けて線形変換したときに、空間が最終的にどう変化するのかの計算です。いきなりですが、まずは以下のアニメーションをご覧ください。行列の積とは何であるかが一目でわかります。 このように行列の積とは、複数の行列で続けて線形変換することです。 このページでは、この行列の積について、アニメーションを使いながらさらに深く解説していきます。読み終える頃には、行列に対する理解が深まりスッキリしていることでしょう。そのためにも、ぜひ楽しみながらご覧頂ければ嬉しく思います。 …
