HeadBoost - Part 2

微分とは何か？わかりやすくイメージで解説

微分とは、結論から言うと「瞬間の変化率」のことであり、視覚的には「ある関数のある地点における接線の傾き」のことです。また概念的には、微分は「ある複雑な事象の全体を非常に細かいパーツに分解して、分析すること」を意味します。そして実務においては、一見どんなに複雑な事象でも、正確に理解する方法（別の言い方をすると、どんなに複雑な曲線でも、単純な直線の集合に過ぎないことを教えてくれるツール）です。そのため、微分は物理学や化学・統計学・コンピューターサイエンスなどの分野で必要不可欠な概念であり、優秀なエンジニアやプログラマーになるためにも決して避けて通ることのできないトピックとなっています …

線形代数をアニメーションで幾何学的に簡単に理解できる36記事まとめ

「線形代数を簡単に理解できるようになりたい…」。そう思ったことはないでしょうか。当ページはまさにそのような人のためのものです。ここでは線形代数の基礎のすべてを、誰でもすぐに、そして直感的に理解できるように、文章だけでなく、以下のような幾何学きかがく的なアニメーションを豊富に使って解説しています。ぜひご覧になってみてください（音は出ませんので安心してご覧ください）。いかがでしょうか。これから線形代数の基礎概念のすべてを、このようなアニメーションとともに解説していきます。線形代数の参考書の多くは、難しい数式がたくさん出てきて、見るだけで挫折してしまいそうになります。しかし線形代数 …

ジョルダン標準形とは？意義と求め方を具体的に解説

ジョルダン標準形は、対角化できない行列を擬似的に対角化（準対角化）する手法です。これによって対角化不可能な行列でも、べき乗の計算がやりやすくなります。当ページでは、このジョルダン標準形の意義や求め方を具体的に解説していきます。 …

行列の対角化とは？意味と方法と使い方[練習問題付き]

行列の対角化とは、ある行列の固有値を成分とした対角行列を作ることを意味します。これはシンプルですが強力なツールであり、経済学から統計学、工学、物理学に到る様々な分野で、主に漸化式や微分方程式を効率よく解くために使われています。そこで、このページでは、行列の対角化の方法を見ながら、対角化とは何かということを具体的に解説します。その後に行列の対角化の最も一般的な使い方である、行列のべき乗の簡単な求め方を解説します。そして最後に、理解を深めるために役立つ練習問題を用意しています。ぜひ、行列の対角化に対する理解を深めるために役立てて頂ければ幸いです。それでは始めましょう。 …

線形代数のための行列の基礎~意味や大きさ・次元・ベクトルとの違い

行列は線形代数において欠かせないものであり、さまざまな便利な性質をもつツールです。その便利さから、連立方程式の計算や、空間の線形変換、統計学の最小二乗法など、さまざまな分野で中心的な役割を担っています。ここでは、この重要な概念である行列の基礎として、以下の点について解説します。行列の表記方法行列の意味行列とベクトルの違い行列の大きさ（サイズ）とは行列の次元数とは行列を理解するための第一歩としてご活用頂ければと思います。 …

行列の基本変形とは？その幾何学的意味や逆行列との関係の解説

行列の基本変形は、「①ある行をスカラー倍する」「②ある行と別の行を入れ替える」「③スカラー倍した行を別の行に足す」という３つの操作のことです。これは連立方程式を行列を使って解いたり、逆行列を求める際に使う基本的なテクニックです。当ページでは、この行列の基本変形についての基本を解説し、その後に、これらの操作は具体的には何をしていることを意味するのかという点について深く解説していきます。読み終わる頃には、なぜ、これらの３つの操作で連立方程式を解いたり、逆行列を求めたりすることができるのかがハッキリとわかるようになっていることでしょう。なお連立方程式と逆行列については以下のペー …

行列の階数（ランク）とは何か？その意味と求め方をわかりやすく解説

行列の階数（ランク）とは、「その行列で線形変換を行ったときに、空間が何次元になるのか」を示すものです。これにはどういう意義があるのでしょうか？『正則行列とは何かがアニメーションで驚くほどよくわかる解説』でお伝えした通り、ある行列が正則行列なのか、それとも非正則行列なのかの判定は、行列式の値がゼロ以外なのか、それともゼロなのかで判定することができます。しかし、行列式がゼロの場合（＝非正則行列の場合）でも、線形変換はまったく同じようなものになるわけではありません。「それでは、どのような線形変換になるのか？」ということを具体的にしてくれる指標の一つが行列の階数（ランク）です。 …