行列の対角化とは？意味と方法と使い方[練習問題付き]

行列の対角化とは、ある行列の固有値を成分とした対角行列を作ることを意味します。

これはシンプルですが強力なツールであり、経済学から統計学、工学、物理学に到る様々な分野で、主に漸化式や微分方程式を効率よく解くために使われています。

そこで、このページでは、行列の対角化の方法を見ながら、対角化とは何かということを具体的に解説します。その後に行列の対角化の最も一般的な使い方である、行列の累乗の簡単な求め方を解説します。

そして最後に、理解を深めるために役立つ練習問題を用意しています。

ぜひ、行列の対角化に対する理解を深めるために役立てて頂ければ幸いです。それでは始めましょう。

1. 行列の対角化とは

簡単に言うと行列の対角化とは、ある行列を、以下のように対角成分以外が \(0\) で埋められた対角行列のかたちに変換したものです。

\[
A = \left( \begin{array}{cccc}
a_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_2 & & \vdots \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & \cdots & a_n \end{array} \right)
\]

具体的には以下のようなものが対角行列です。

\[
\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 &2 \end{array} \right)
\hspace{7mm}
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right)
\]

このように行列を対角行列のかたちに変換するので、「行列の対角化」と言います。

そして、重要な法則として、ある行列 \(A\) と、その対角化行列である \(D\) は以下の関係にあります（\(P\) は行列 \(A\) の固有ベクトルを成分とする行列のことを意味します。\(P^{−1}\) はその逆行列です）。

この公式は、対角化行列を使いこなす上でとても重要なものなので、必ず覚えておきましょう。

さて、それではこれから実際に行列の対角化の方法を見ていくことで、理解を具体的にしていきましょう。

1.1. 行列の対角化の方法

行列の対角化は次のステップで行います。

ここでは以下の行列を使って実際に行ってみましょう。

\[
A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 3 &2 \end{array} \right)
\]

固有値と固有ベクトルを求める

行列の対角化のためには、まず固有値と固有ベクトルを求めます。

それらの求め方は『線形代数のための行列の固有値と固有ベクトルの計算方法』で解説しています。こちらの記事の中で、行列 \(A\) の固有値と、それに対応する固有ベクトルは既に求めているので、ここでは計算は割愛します。それぞれ次の通りです。

• 固有値 \(5\) に対する固有ベクトル \(\left(\begin{array}{cc} 1 \\ 1 \end{array} \right)\)
• 固有値 \(−2\) に対する固有ベクトル \(\left( \begin{array}{cc} 4 \\ −3 \end{array} \right)\)

固有ベクトルを重ねた行列 \(P\) を作る

次に、この二つの固有ベクトルを重ねて行列 \(P\) を作ります。

\[
P = \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 1 &−3 \end{array} \right)
\]

この行列 \(P\) は、まず固有値 \(5\) に対する固有ベクトル、次に固有値 \(−2\) に対する固有ベクトルという順番で重ねることで作っています。

上の順番通りに固有値を配置した対角行列を作る

実は、行列 \(P\) を作った時点で、すでに対角化行列は導き出されています。

行列 \(P\) は、まず固有値 \(5\) に対する固有ベクトル、次に固有値 \(−2\) に対する固有ベクトルという順番で作りました。

そのため行列 \(A\) の対角化行列 \(D\)は、以下の通り、対角線の最初の成分を \(5\) 、次の成分を \(−2\) とする対角行列になります（固有ベクトルを重ねる順番が逆になれば、対角成分の順番も逆になります）。

\[
D = \left( \begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 0 &−2 \end{array} \right)
\]

以上が行列の対角化です。

このとき、以下で示している通り、\(P^{−1}AP = D\) が成り立っています。

このように、対角化行列とは、元の行列の固有値を対角成分とする対角行列なのです。

なお行列の処理の観点では、\(P^{−1}AP = D\) において、対角化行列 \(D\) と元の行列 \(A\) は相似である（非常に似通った行列）であると見なすことができます。そのため、行列 \(A\) を別の行列 \(P\) と\(P^{−1}\) で挟んで、対角化行列 \(D\) に変形することを「相似変形」といいます。もちろん、この相似変形によって行列の対角化を行うという方法もまったく問題なく使えます。

しかし、固有値と固有ベクトルがわかっている状況では、上で解説した方法のほうが早いです。

1.2. 対角化不可能な行列もある

さて、行列の対角化の方法を解説しましたが、実はすべての行列が対角化可能なわけではありません。

対角化可能なのは、行列の固有ベクトル同士がお互いに一次独立（線型独立）である場合、言い換えると固有ベクトルで作る行列 \(P\) が、逆行列が存在する正則行列である場合です（一次独立については、『ベクトルの一次独立とは？非理系でも必ずわかる解説』で解説しています）。

そして、『逆行列の求め方と線形代数のために抑えるべきポイントの解説』で解説している通り、行列の正則性は行列式で判定することができましたね。

行列式の値がゼロ以外であれば正則行列であり、行列は対角化可能です。一方で行列式の値がゼロであれば非正則行列であり、行列は対角化不可能となります（行列式については『行列式って何？定義や使い方がバッチリ分かる解説』で解説しています）。

上で用いた行列 \(A\) の場合は、その固有ベクトルから作った行列 \(P\) は、以下で示す通り正則行列です。そのため行列 \(A\) は対角化可能ということになります。

\[\begin{eqnarray}
|P| & = &\left| \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 1 &−3 \end{array} \right|
&=&
1\times(−3)−4\times1 = −7
\end{eqnarray}\]

この行列式の値がゼロの場合は、それらの固有ベクトルを持つ行列は対角化不可能です。

なお、ある \(n×n\) 行列において、異なる固有値が \(n\) 個存在する場合、それぞれの固有ベクトルは必ず一次独立(線型独立)していることになります。そのため、その行列は対角化可能です。

これは、固有値と固有ベクトルを求める固有方程式で導き出される \(n\) 次方程式の判別式でも確認可能です。これも『線形代数のための行列の固有値と固有ベクトルの計算方法』で解説しています。

2. 行列の対角化の利点

さて、それでは行列の対角化にはどのようなメリットがあるのでしょうか。最も重要なのは「行列を \(n\) 乗する計算が飛躍的に楽になる」ということです。

ここでは、この点について解説しましょう。

2.1. 累乗計算が飛躍的に楽になる

たとえば、上で用いた行列の \(A^{10}\) を計算したいとします。このとき、いちいち行列 \(A\) の掛け算を \(10\) 回行うのは非常に面倒です。

そのようなときは、対角化行列 \(P^{−1}AP=D\) の出番です。例えば、これの両辺を \(n\) 乗したものを考えてみましょう。それは以下のようになりますね。

この計算式から括弧を外してみましょう。すると次のようになります。

こうしてみると面白いことに気付きます。行列 \(P\) とその逆行列 \(P^{−1}\) との積は単位行列 \(E\) になります。そのため、上の式は次のように変形することができます。

そして、ある行列に単位行列 \(E\) を掛けても値は変わらないので、上の式からは \(E\) も取り去ることができます。

ここで、両辺に対して、左から \(P\) を、右から \(P^{−1}\) を掛けてみましょう。

こうして、\(A^n\) は \(PD^nP^{−1}\) で求められることがわかりました。

そして\(D^n\)は対角行列なので、以下のように非常に簡単に計算することができます。

つまり例えば、\(A^{10}\) は、面倒な \(A\) の掛け算を延々と\(10\) 回も行う必要がなく、対角化行列の対角成分を \(n\) 乗したものの左から\(P\)、右から\(P^{−1}\) を掛けることで求められるということです。つまり、\(100\)乗だろうが、\(1000\)乗だろうが、対角化行列を使うと、面倒な行列同士の掛け算がたったの二回で済むということです。

それでは実際に、\(A^{10}\) を求めてみましょう。以下のようになります。

これが行列の対角化の大きな利点の一つです。

2.2. 行列の対角化の応用例

それでは、上で解説した「行列の累乗が遥かに楽になる」という対角化行列の特性を活用した応用例を見てみましょう。ここは少し難しいかもしれないので、必ずしも理解できなくても大丈夫です。行列の対角化は、こういう風に使われているんだということを知っていただければ十分です。

行列の対角化は、様々な分野で使われている重要な概念です。その一つに、たとえばフィボナッチ数列から求められる黄金比というものがあります。

フィボナッチ数列は次のような数列です。

\[
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, \cdots
\]

この数列の \(n\) 番目の数字は次のようにして求められています。

\[
f_{n+1} = f_{n} + f_{n-1}
\]

たとえば、\(5\)番目の数字は \(f_5 = 3 + 2 = 5\) ですし、\(8\)番目の数字は \(f_8 = 13 + 8 = 21\) です。これを順番に求めていくことで、フィボナッチ数列はできあがります。

この数列は、多くの面白い性質を持っていることで有名です。たとえば…

というように隣り合う数字の比を求めてみます。そうすると次のようになります。

こうして見てみると、下図のように 1.618…辺りの値に収束していっていることがわかります。

それでは、最終的にどの値に収束しているのでしょうか。これは行列の対角化によって解くことが可能なのです。

先ほども見た通り \(f_{n+1} = f_{n} + f_{n-1}\) でしたね。そして、当たり前ですが \(f_n = f_n\) です。ということは、これは次のように連立方程式で表すことができます。

\[
\begin{cases}
1f_{n} + 1f_{n-1 }= f_{n+1} \\
1f_n + 0f_{n-1 } = f_n
\end{cases}
\]

これを「行列の連立方程式」で表すと、以下のようになりますね。

ここで、それぞれ次のように置き換えるとします。

\[
A = \left( \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right),
\hspace{3mm}
V_n = \left( \begin{array}{c} f_{n+1} \\ f_n \end{array} \right)
\]

そうすると上の式は以下のように表現することができます。

\[
V_n = A^1V_{n-1} = A^2V_{n-2} = \cdots =A^nV_0
\]

なお、\(V_0\) は数列の最初なので…

\[
V_0 = \left( \begin{array}{c} f_1 \\ f_0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)
\]

です。

さて、ここで \(V_n\) を求めることが収束値を求めることになります。

普通に求めると、たとえば \(V_5\) は…

となりますが、そうではなく、まず行列 \(A\) を対角化します。

そのために\(A\) の固有値と固有ベクトルを求めます。固有値を \(\lambda\) とすると固有方程式は…

となります。途中の計算は省きますが、これの固有値 \(\lambda\) の値は以下の通りになります。

\[
\lambda_+ = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}, \hspace{3mm} \lambda_− = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}
\]

そして、それぞれの固有値に対する固有ベクトルは以下の通りです。

\[\begin{eqnarray}
\lambda_+ &\rightarrow& \left( \begin{array}{c} \lambda_+ \\ 1 \end{array} \right),
\hspace{4mm}
\lambda_− &\rightarrow& \left( \begin{array}{c} \lambda_− \\ 1 \end{array} \right)
\end{eqnarray}\]

ということは、この場合の行列 \(A\) の対角化行列は次の通りです。

\[
D=P^{−1}AP =
\left( \begin{array}{cc} \lambda_+ & 0 \\ 0 & \lambda_− \end{array} \right)
\]

さて、もともと求めたかったのは、\(\vec{V}_n\) の成分比である…

\[
\dfrac{f_{n+1}}{f_n}
\]

で、\(n\) を限りなく大きくした場合の値でしたね。

そして、これは…

\[
V_n = A^nV_0
\]

で求めますから、計算するには行列 \(A\) を限りなく何回も掛けることが必要になります。こういう時こそ、\(A^n=PDP^{−1}\) の出番です。

\(A_n\) は次のように計算することができます。

そして、\(V_n\) は次のように計算することができます。

さて、これで \(V_n\) を求めることができました。このようにフィボナッチ数列の一般項は、行列 \(A\) を対角化することによって得られるのですね。

それでは、実際に黄金比の極限値を求めてみましょう。まず、この場合は、限りなく大きい \(n\) に対して…

\[
\lim_{n \to \infty} \lambda_−{}^n = 0
\]

となります。つまり、\(n\) が非常に大きい場合は \(\lambda_−\) の項は無視することができるので…

\[\begin{eqnarray}
V_n &= &
\dfrac{1}{\sqrt{5}}
\left( \begin{array}{cc}
\lambda_+{}^{n+2}−\lambda_−{}^{n+2}\\
\lambda_+{}^{n+1}−\lambda_−{}^{n+1}
\end{array} \right)\\
&\rightarrow&
\dfrac{1}{\sqrt{5}}
\left( \begin{array}{cc}
\lambda_+{}^{n+2}\\
\lambda_+{}^{n+1}
\end{array} \right)
\end{eqnarray}\]

と考えて良いことになります。

ということは…

\[\begin{eqnarray}
\dfrac{f_{n+1}}{f_n}
=
\dfrac{\lambda_+{}^{n+2}}{\lambda_+{}^{n+1}}
=
\lambda_+
=
\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{eqnarray}\]

になります。

このように行列 \(A\) を対角化することによって、\(A^n\) を簡単に計算することができるのです。これが黄金比の求められ方です。

なおこの方法は、ここまで見てきたような漸化式を解くためだけでなく、微分方程式を解くためにも有効で、良く使われています。

3. 練習問題

それでは、行列の対角化についての理解を深めるために、最後に練習問題を解いてみましょう。

3.1. 2×2行列の対角化

問題：以下の行列 \(A\) を対角化しなさい。

\[
A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ −5 & 8 \end{array} \right)
\]

3.2. 3×3行列の対角化

問題：以下の行列 \(A\) を対角化しなさい。

\[
A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & −1 & −3 \\ 0 & −1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{array} \right)
\]

3.2. 3×3行列の累乗

問題：以下の行列 \(A\) の \(5\) 乗を行列の対角化によって求めなさい。

\[
A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & −1 & −3 \\ 0 & −1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{array} \right)
\]

4. まとめ

以上が、行列の対角化に関してまず抑えておきたいことのすべてです。最後にあらためて本当に重要なポイントだけに絞ってまとめておきましょう。

まず行列の対角化は次のようにして行うことができます。

行列の対角化の公式は次の通りです。

続いて、対角化行列を用いて、行列の累乗を簡単に計算する方法は以下の通りです。

練習問題を解くことが、これらの理解の助けになりますので、ぜひチャレンジしておいて頂ければと思います。