ベクトルの分解とそのやり方〜線形代数の理解のための基礎知識〜

ベクトルの分解とは、あるベクトルを第 n 成分ごとに分けて、\(\vec{v} = a\vec{e}_1 + b\vec{e}_2 + c\vec{e}_3\) と表現することをいいます。このページでは、ベクトルの分解の方法と、ベクトルを分解して表示することの意義をわかりやすく解説します。

概念自体はとてもシンプルですが、ベクトルを分解して考えるということは、数学的な思考力を鍛えるという面でも、線形代数学に応用するという面でも、基礎になります。

そのためにも、じっくりご覧頂ければ嬉しく思います。

1. ベクトルの分解とは

あらためてベクトルの分解とは、あるベクトルを第一成分(\(\vec{e}_1\))、第二成分(\(\vec{e}_2\))、第三成分(\(\vec{e}_3\)) などの成分ごとに分けて、以下のかたちで表現することを言います。

\[
\vec{v} = a\vec{e}_1 + b\vec{e}_2 + c\vec{e}_3
\]

まずは、これについて二次元ベクトルと三次元ベクトルを例にして、具体的に見ていきたいと思います。その後で、なぜあえてベクトルを分解して表示することがあるのか、その意義について解説します。

それでは始めましょう。

1.1. 二次元平面におけるベクトルの分解

次の二次元ベクトルがあるとします。

\[
\vec{v} =
\left( \begin{array}{c}
4 \\
3
\end{array} \right)
\]

これはベクトルの和を使って、次のように分解できることはすぐにわかりますね。

これを、さらにベクトルのスカラー倍を使って分解すると、次のように表すことができます。

このとき、\((1, 0) = \vec{e}_1, \hspace{2mm} (0, 1) = \vec{e}_2\) と置き換えると、以下のように \(\vec{v}\) はとてもシンプルに表すことができます。

\[
\vec{v} = 4\vec{e}_1 + 3\vec{e}_2
\]

これがベクトルの分解です。

これを図で表してみましょう。

このように、二次元平面では、\(\vec{e}_1=(1, 0),\hspace{2mm} \vec{e}_2=(0, 1)\) の二本のベクトルさえあれば任意のベクトルを作ることができます。

このことを、線形代数学では、「\(\vec{v}\) は \((1, 0)\) と \((0, 1)\) の線形結合で書ける」と表現します。

そして、あらゆる二次元ベクトルを書くことを可能とする二本のベクトル \(\vec{e}_1=(1, 0),\hspace{2mm} \vec{e}_2=(0, 1)\) のことを「基底ベクトル」または「正規直交基底ベクトル」といいます。

以上が二次元平面におけるベクトルの分解です。

1.2. 三次元空間におけるベクトルの分解

続いて三次元ベクトルの分解について考えてみましょう。成分が一つ増えるだけで、難しいことは何もありません。

以下の三次元ベクトルがあるとします。

\[
\vec{v} =
\left( \begin{array}{c}
−2 \\
−1 \\
2
\end{array} \right)
\]

成分が三つなので、このベクトルを分解すると今度は次のようになります。

これをさらにスカラー倍を使って表したものが以下ですね。

そして、\((1, 0, 0)=\vec{e}_1, (0, 1, 0)=\vec{e}_2, (0, 0, 1)=\vec{e}_3\) に置き換えてシンプルにしましょう。

\[
\vec{v} = -2\vec{e}_1 + (-1)\vec{e}_2 + 2\vec{e}_3
\]

これが三次元空間におけるベクトルの分解です。

成分が増えましたが、ベクトルの分解のやり方は二次元の場合と全く同じなので特に難しくないと思います。

これを3Dで図示したものが以下です。

なお、三次元空間では、\((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\) の、それぞれお互いに直交する三本のベクトル\(e1, e2, e3\)があれば、どのようなベクトルでも描くことができます。

そのため、三次元空間では、これらが「基底ベクトル」です。

簡単ですね。

2. ベクトルを分解して表示する意義

さて、ここまで見てきたように、ベクトルを \(\vec{v} = a\vec{e}_1 + b\vec{e}_2 + c\vec{e}_3\) のかたちで表したものがベクトルの分解です。

ここでは三次元ベクトルまでを見ましたが、四次元、五次元と増えていっても考え方はまったく同じです。たとえば四次元なら、以下の四つが基底ベクトルです。

さて、それではこのようにベクトルを分解して表示することには、どのような意義があるのでしょうか？

二つを見比べると、明らかに普通のベクトル(数ベクトルといいます)の方がわかりやすく感じられます。

\[\vec{v}=
\left( \begin{array}{c}
4 \\
2 \\
3
\end{array} \right),
\hspace{3mm}
\vec{v} = 4\vec{e}_1+2\vec{e}_2+3\vec{e}_3
\]

答えはシンプルです。

数ベクトルは確かに簡単に見えますが、これを一目見ただけでは、なかなかそのベクトルの幾何学的な意味（図形的なイメージ）がはっきりしないのです。

一方で、分解表示した書き方は、一目見ただけで幾何学的なイメージを想起することができるのです。

数学の世界では、計算が高度になればなるほど、幾何学的に考察することが発展の秘訣になることが多いです。そういうわけでベクトルの分解表示は、非常に重宝されています。

3. まとめ

以上がベクトルの分解です。

最後に簡単にまとめておきましょう。

ベクトルの分解表示とは、あるベクトルを、基底ベクトルを用いて、

のかたちで表現することです。

二次元平面であれば、

\[e_1=
\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right),
\hspace{3mm}
e_2=
\left( \begin{array}{c}
0 \\
1
\end{array} \right)
\]

を使って、任意の平面ベクトルを、\(\vec{v} = ae_1 + be_2\) と書くことができます。

三次元空間であれば、

\[e_1=
\left( \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0
\end{array} \right),
\hspace{3mm}
e_2=
\left( \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0
\end{array} \right)
\hspace{3mm}
e_2=
\left( \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1
\end{array} \right)
\]

を使って、任意の平面ベクトルを \(\vec{v} = ae_1 + be_2 + ce_3\) と書くことができます。

このようにベクトルを分解して書くことで、そのベクトルの幾何学的な意味をとてもイメージしやすくなります。慣れれば慣れるほど便利で、手放せない考え方になっていくので、ぜひ使いこなしてみてください。