ベクトルの分解とは、簡単に言うと「任意のベクトルを、別の2本のベクトルの掛け算と和で表すこと」です。
こう聞くと、「なぜわざわざそんな面倒なことをするのか？」と疑問に思うかもしれません。しかしベクトルの分解は線形代数において非常に重要なコンセプトです。なぜならこれは「ベクトルの独立」や「線形結合」などの概念を理解するための基礎となるからです。
そのため是非ここでベクトルの分解についてしっかりと理解しておきましょう。なお理解を確認するための簡単な練習問題もありますので、ぜひあわせてご活用ください。
前提知識（ベクトルの和と掛け算について）
ベクトルの分解について、しっかりと理解するには、土台としてベクトルの和とベクトルの掛け算の知識を身につけておく必要があります。それぞれ『ベクトルの和とは何か？誰でもわかる幾何学的な意味と計算方法の解説』と『ベクトルの掛け算とは何か？幾何学的な意味と計算方法の解説』で解説していますので、ぜひ確認しておいてください。
1. ベクトルの分解をアニメーションで解説
いきなりですが、以下の1分29秒のアニメーションでベクトルの分解というものをすべて解説しています。これによって、幾何学的に理解することができますので、ぜひご覧ください。
以上がベクトルの分解です。
2. ベクトルの分解を文章で解説
ここからはベクトルの分解を文字で詳しく解説していきます。上のアニメーション解説の補足としてご活用ください。
２次元ベクトルの分解
まず以下のベクトル \(\vec{v}\) があるとします。
\[\begin{eqnarray}
\vec{v}=
\left[ \begin{array}{c} 3 \\ -2 \end{array} \right]
\end{eqnarray}\]
このベクトル \(\vec{v}\) の各座標は、それぞれ長さが\(1\)の水平ベクトル \(\hat{\imath}\) (アイハット) と垂直ベクトル \(\hat{\jmath}\) (ジェイハット) の掛け算と和で求めることができます。
\[\begin{eqnarray}
\hat{\imath}=
\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right],
\hspace{3mm}
\hat{\jmath}=
\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]
\end{eqnarray}\]
まず、ベクトル \(\vec{v}\) の \(x\) 座標は \(\hat{\imath}\) を \(3\)倍するスカラーであり、\(y\) 座標は \(\hat{\jmath}\) を \(-2\)倍するスカラーであると考えることができます。（ベクトルの掛け算（スカラー倍）については『ベクトルの掛け算とは何か？幾何学的な意味と計算方法の解説』で解説しています）。
\[\begin{eqnarray}
3\hat{\imath}=
\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array} \right],
\hspace{3mm}
-2\hat{\jmath}=
\left[ \begin{array}{c} 0 \\ -2 \end{array} \right]
\end{eqnarray}\]
そして、ベクトル \(\vec{v}\) はこうしてスカラー倍した \(3\hat{\imath}\) と \(-2\hat{\jmath}\) の和で表すことができます（ベクトルの和については『ベクトルの和とは何か？誰でもわかる幾何学的な意味と計算方法の解説』をご確認ください）。
\[\begin{eqnarray}
\vec{v}=(3)\hat{\imath}+(-2)\hat{\jmath}=
\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array} \right]
+
\left[ \begin{array}{c} 0 \\ -2 \end{array} \right]
=
\left[ \begin{array}{c} 3 \\ -2 \end{array} \right]
\end{eqnarray}\]
このようにベクトル \(\vec{v}\) を、「 \(\vec{v}=(3)\hat{\imath}+(-2)\hat{\jmath}\)」にするのがベクトルの分解です。
確認用問題
確認を兼ねて以下に2次元ベクトルの分解の問題を用意していますので、ぜひご活用ください。
３次元ベクトルの分解
次に以下の3次元ベクトル \(\vec{v}\) を分解してみましょう。
\[\begin{eqnarray}
\vec{v}=
\left[ \begin{array}{c} -2 \\ -3 \\2 \end{array} \right]
\end{eqnarray}\]
2次元ベクトルの分解では2つのベクトル \(\hat{\imath}\) と \(\hat{\jmath}\) を使いましたが、3次元ベクトルではもう1つ \(\hat{k}\) が必要になります。
\[\begin{eqnarray}
\hat{\imath}=
\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\0 \end{array} \right],
\hspace{3mm}
\hat{\jmath}=
\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\0\end{array} \right],
\hspace{3mm}
\hat{k}=
\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0 \\ 1 \end{array} \right]
\end{eqnarray}\]
この3つのベクトルがあるとしたら、ベクトル \(\vec{v}\) の \(x\) 座標は \(\hat{\imath}\) を \(-2\) 倍するスカラーであり、\(y\) 座標は \(\hat{\jmath}\) を \(-3\) 倍するスカラーであり、\(z\) 座標は \(\hat{k}\) を \(2\) 倍するスカラーであると考えることができます。
\[\begin{eqnarray}
-2\hat{\imath}=
\left[ \begin{array}{c} -2 \\ 0 \\0 \end{array} \right],
\hspace{3mm}
-3\hat{\jmath}=
\left[ \begin{array}{c} 0 \\ -3 \\0\end{array} \right],
\hspace{3mm}
2\hat{k}=
\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0 \\ 2 \end{array} \right]
\end{eqnarray}\]
そして、ベクトル \(\vec{v}\) はこうしてスカラー倍した \(-2\hat{\imath}\) と \(-3\hat{\jmath}\) と \(2\hat{k}\) の和で表すことができます。
\[\begin{eqnarray}
\vec{v}=(-2)\hat{\imath}+(-3)\hat{\jmath}+2\hat{k}
=
\left[ \begin{array}{c} -2 \\ 0 \\0 \end{array} \right]
+
\left[ \begin{array}{c} 0 \\ -3 \\0\end{array} \right]
+
\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0 \\ 2 \end{array} \right]
=
\left[ \begin{array}{c} -2\\ -3 \\ 2 \end{array} \right]
\end{eqnarray}\]
このように、この3次元ベクトル \(\vec{v}\) は「\(\vec{v}=(-2)\hat{\imath}+(-3)\hat{\jmath}+2\hat{k}\)」と分解することができます。
確認用問題
確認を兼ねて以下に3次元ベクトルの分解の問題を用意していますので、ぜひご活用ください。
3. まとめ
以上がベクトルの分解です。とても単純ですが、これから線形代数の学習を進めていく上で非常に重要な基礎となる知識です。しっかりと抑えておきましょう。
次に読みたい記事
当記事のアニメーションの中で、ベクトルの分解に用いた2本のベクトル \(\hat{\imath}\) と \(\hat{\jmath}\) のことを特別なベクトルであると言いました。具体的には、これらは「基底ベクトル」と言われるものです。基底ベクトルを理解することによって、線形代数において、数値を見ただけで空間をイメージできるようになっていきます。次の記事、『基底ベクトルとは何か？アニメーションで一目で理解』では、これについて解説していますので、是非ご覧ください。
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