cos の積分はなぜ sin?積分と微分がよりよく分かるようになる解説

cos の積分は sin になります。なぜなら、積分は微分の反対であり、sin を微分すると cos になるからです。とは言っても、これだけで終わってしまっては、あまりにも事務的であり、数学に触れていることにはなりません。

そこで、このページでは、なぜこうなるのかを、誰でも直感的に理解できるように詳しく解説していきます。読み進めていただくと、積分や微分というものが、より深くわかるようになるので、ぜひご覧ください。

目次

1. cos の積分は sin

定義上、積分と微分は正反対の演算です。つまり微分をしたら \(\cos(x)\) になる関数である \(\sin(x)\) が積分です。

\(\cos(x)\) の不定積分は \(\sin(x)\)

\[\begin{eqnarray}
f(x)=\cos(x)
\hspace{5mm}
\overset{\textrm{積分}}{\underset{\textrm{微分}}{\rightleftarrows}}
\hspace{5mm}
F(x)=\sin(x)
\end{eqnarray}\]

それでは、なぜこうなるのでしょうか?

その理由は「積分は微分の反対だから」なのですが、ただ、これを鵜呑みにしているだけでは、積分の本質を理解していることにはなりません。そこで、この点について、より深く、かつ直感的に理解できるように解説しておきたいと思います。

2. なぜ cos の積分は sin になるのか

まず「積分とは何か」で、「関数 \(f(x)\) にとっての積分 \(F(x)\)とは、面積を求めるための掛け算であり、関数 \(F(x)\) にとっての微分 \(f(x)\) とは、高さを求めるための割り算である」ということをお伝えしました。

そして「sin の積分はなぜ -cos ?積分と微分の関係を誰でもわかりるように解説」では、同じことを、任意の区間における \(f(x)\) の平均値と \(F(x)\) の傾きの関係を使って別視点から解説しました。

積分を深く直感的に理解したいという場合は、以上の2つのページは必ず読み込んでおいてください。ここからは、これらについて理解している前提で、\(\cos(x)\) の積分を視覚的に確認していきましょう。

2.1. cos の平均値は sin の傾きと等しい

まずは以下の画像をご確認ください。これは [\(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\)] の間の \(\cos(x)\) の面積と平均値を示しているものです。

解説します。

ご覧の通り、\(\cos(x)\) の不定積分は \(\sin(x)\) なので、「微分積分学の基本定理」より、面積 \(\int^{\frac{3\pi}{2}}_{\frac{\pi}{2}}\cos(x)dx\) は次のように求められます。

\(\cos(x)\) の定積分(=面積)

\[\begin{eqnarray}
\int^{\frac{3\pi}{2}}_{\frac{\pi}{2}}\cos(x)dx
&=&
\sin(\frac{3\pi}{2})-\sin(\frac{\pi}{2})\\
\end{eqnarray}\]

そして同区間の平均値(高さの平均)は、この面積から区間の範囲を割ることで求められます。

\(\cos(x)\) の平均値(=高さの平均)

\[\begin{eqnarray}
\frac{\int^{\frac{3\pi}{2}}_{\frac{\pi}{2}}\cos(x)dx}{\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{2}}
=
\frac{\sin(\frac{3\pi}{2})-\sin(\frac{\pi}{2})}{\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{2}}
\end{eqnarray}\]

ポイントは、[\(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\)] 間の \(\cos(x)\) の平均値(高さの平均)は、その不定積分 \(\sin(x)\) の傾きと同じ値になるという点です。

2.2. cos の値は sin の微分の値と等しい

さて、「微分とは何か」で解説した通り、微分とは接線の傾きです。ということは、ここまでは [\(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\)] 間を見てきましたが、この区間を [\(a, a+dx\)] というように狭くすると、\(\cos(x)\) の平均値(=高さ)が、その不定積分である \(\sin(x)\) の微分と同じ値になることがわかります。

以下の画像でご確認ください。

この通り、積分や微分を求めるときのように、\(dx\) の値を \(0\) に近づけていくと(範囲を狭めていくと)、\(\cos(x)\) と \(\sin(x)\) がお互いに積分と微分の関係であることがわかりますね。

3. cosの積分のまとめ

以上が、\(\cos(x)\) の積分が \(\sin(x)\) であり、\(\sin(x)\) の微分が \(\cos(x)\) であることの視覚的な証明です。

ぜひ、しっかりと理解できるように何度も読み返してみてください。また、その際は、『積分とは何か?最もわかりやすく簡単に理解できるように解説』と『sin の積分はなぜ -cos ?積分と微分の関係を誰でもわかりるように解説』も読み返すようにすると理解がより深まるでしょう。

参考にして頂ければ嬉しく思います。



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