線形結合とは何か？アニメーション付きで誰でもわかるように解説

線型結合は、線形代数において重要な概念の一つであり、簡単に言えば「ベクトルのスカラー倍と足し算によって、任意のベクトルを表すこと」です。たとえば、2次元ベクトルで言うと \(x\vec{v}+y\vec{w}\) のことです。

このページでは、この線形結合についてアニメーションを用いて誰でもわかるように、詳しく解説していきます。ぜひ学習の役に立てて頂ければと思います。

1. 線形結合とは？

それでは、さっそく以下のアニメーションをご覧ください。上でお伝えした線形結合の定義を視覚的に簡単に理解することができます。

このように、線形結合とはベクトルのスカラー倍と足し算の組み合わせで、任意のベクトルを表すことなのです。

具体的には、2次元ベクトルなら2本の基底ベクトルを使って \(x\vec{v}+y\vec{w}\) で表すことができますし、3次元ベクトルなら3本の基底ベクトルを使って \(x\vec{v}+y\vec{w}+z\vec{u}\) で表すことができます。この式の部分が線形結合です。

そしてこのように、あるベクトル \(\vec{a}\) を、ベクトル \(\vec{v}\) と \(\vec{w}\) で描けるとき、「 \(\vec{a}\) は \(\vec{v}\) と \(\vec{w}\) の線形結合で描くことができる」と表現します。

2. 部分空間（スパン）とは？

さて、上のアニメーションで示した通り、ほとんどどのようなベクトルの組み合わせを基底ベクトルとして選んだとしても、線形結合によってあらゆるベクトルを描くことができます。

しかし、たとえば基底ベクトルとして選んだ2本のベクトル \(\vec{v}\) と \(\vec{w}\) が、以下のようにお互いに平行していたらどうでしょうか？

そうこの場合は、これらのベクトルで描ける空間は限定的になります。言い換えると、空間上のあらゆるベクトルを線形結合で描くことはできません。ぜひ、このことを以下のアニメーションで確認してみてください。

このように基底ベクトルがお互いに平行のときは、それによって描けるベクトルは、その直線上に限られることになります。つまり、空間内の一部分のベクトルしか描くことができないのです。そして、このようにあるベクトルで描くことが可能な空間のことを、そのベクトルの「部分空間（スパン）」と言います。

なお、空間のすべてのベクトルを描くことができないのは、基底ベクトルが平行のときだけではありません。言ってしまえば当たり前ですが、ゼロベクトルの場合は部分空間すら存在しないことになります。

これも以下のアニメーションですぐに確認して頂けます。

線形代数を理解するためには、「部分空間」という小難しい名前を覚えておく必要はありません。しかし上で見たように、「基底ベクトルがお互いに平行している場合は空間上のすべてのベクトルを描くことができない」という点は、今後重要な意味を持っていきますので、覚えておいてください。

3. まとめ

以上が線形結合です。あらためてまとめると、線形結合とは、「ベクトルのスカラー倍と足し算によって、任意のベクトルを描くこと」です。

ほとんどの場合、任意の基底ベクトルで空間上のすべてのベクトルを描くことができます。

しかし例外として、選んだ基底ベクトルが平行している場合には、限られた部分上のベクトルしか描くことはできません。その場合の、描くことが可能な部分のことを「部分空間」と言います。この点はぜひ覚えておいてください。

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