べき乗（累乗）の微分公式-誰でも必ず深く理解できるように解説-

べき乗の微分・累乗の微分はどちらも同じ公式で簡単に求めることができます。その公式を知っておけば、べき乗の微分は、わざわざ微分の定義式から計算する必要なく、素早く簡単に求められるようになります。

それが以下の公式です。

べき乗の微分公式

\[(x^n)^{\prime}=nx^{n-1}\]

なお、べき乗・累乗はどちらも \(x^n\) の計算のことです。ただし、べき乗では \(n\) は自然数を含む全ての実数（\(-1, \frac{1}{2}, \pi\) など）ですが、累乗は \(n\) が自然数（\(1,2,3\) など）に限定されます。

\[
\underbrace{
\overbrace{
x^1,
\hspace{5mm}
x^2,
\hspace{5mm}
x^3}^{累乗},
\hspace{5mm}
x^{-1},
\hspace{5mm}
x^{\frac{1}{2}},
\hspace{5mm}
x^\pi}_{べき乗}\]

\(n\) が分数であろうが小数であろうが、その微分は、全て上の公式で簡単に求めることができます。

例えば、以下のようになります。

\[
(x^2)^{\prime}=2x^{2-1}=2x
\]

\[
(x^{-1})^{\prime}=-1x^{-1-1}=-x^{-2}
\]

\[(x^{\frac{1}{3}})^{\prime}=\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}
\]

それではなぜ、べき乗の微分を上の公式で求めることができるのでしょうか。このページでは、この理由について、まず簡単な累乗から説明し、その後にべき乗も解説することにします。

誰でも直観的に理解できるように、アニメーションと画像を豊富に使いながら解説していきますので、ぜひご覧ください。

1. べき乗の微分公式の証明
2. べき乗の微分公式の応用
- 2.1. \(x^{-n}\)の微分の幾何学的意味
- 2.2. \(x^{\frac{1}{n}}\) の微分の幾何学的意味
3. べき乗の微分公式のまとめ

1. べき乗の微分公式の証明

累乗関数 \(x^n\) の微分は指数部分の \(n\) がどれだけ大きくなっても、常に \(nx^{n-1}\) になります。

累乗の微分

\[\begin{eqnarray}
(x^1)^{\prime}&=&1\\
(x^2)^{\prime}&=&2x\\
(x^3)^{\prime}&=&3x^2\\
&\vdots&\\
(x^{100})^{\prime}&=&100x^{99}\\
\end{eqnarray}\]

それでは、なぜ、この公式の通り求められるのでしょうか。それは \(x^2\) と \(x^3\) の微分の幾何学的意味を確認するだけでわかるようになります。

1.1. \(x^2\) の微分の幾何学的意味

まず \(f(x)=x^2\) から考えてみましょう。この計算は \(x \times x\) と同じです。そして微分学においては、このような２つの値の掛け算の微分は、以下のアニメーションで示しているように面積に置き換えてイメージすると途端にわかりやすくなります。

このように \(x^2\) は辺の長さが \(x\) の正方形の面積に置き換えて考えることが可能です。

この正方形の面積は当然、\(x\) の値によって変わります。たとえば、\(f(2.5)=2.5^2=6.25\)、\(f(5)=5^2=25\) というようになります。

さて、『微分とは何か？わかりやすく徹底解説』で解説した通り、微分は瞬間の変化率のことです。より具体的には、 \(x\) の値が \(dx\) だけ変化したときの変化率です。なお \(d\) は限りなく０に近い変化を表す記号です。つまり \(dx\) は \(x\) の限りなく小さな変化を表します。

さて、それでは \(x\) の値が \(dx\) だけ増加したら、面積はどうなるでしょうか。以下のアニメーションで示している通り、\(dx\) に応じて正方形の面積も \(df\) だけ増加します。

ご覧の通り、増えた面積 \(df\) は２つの大きな長方形 \(x \times dx\) と、1つの小さな正方形 \(dx \times dx\) の合計である \(2x(dx)+(dx)^2\) になります。

増加面積

\[df=2x(dx)+(dx)^2\]

さて、微分の定義上、\(dx\) は限りなく０に近い値です。そのため、増加面積において \((dx)^2\) の部分は、０に近い値を２回掛けていることになり、もう０とみなして良いほどの値になっています。このことから実際には、 \(2x(dx)\) の部分が増加面積の９９．９９９９９９９９ \(\cdots\) ％を占めていることになります。

アニメーションではわかりやすくするために \(dx\) の値を大きく取っているのでピンと来ないかもしれませんが、以下の画像のように、実際に \(dx\) を０に近づけるとわかりやすくなります。

実際にdxの値を０に近づけると、2xdxの面積と比べてdx^2が無視できるほど小さいことがわかります。

以上のことから、実際の増加面積は \(df=2x(dx)\) と考えて良いことになります。そして微分はこの面積の瞬間的な変化率（増加率）なので、次の通りになります。

面積の変化率

\[\dfrac{df}{dx}=\dfrac{2x(dx)}{dx}=2x\]

※見切れている場合は右にスクロールすることができます。

以上のことから \(x^2\) の微分（＝面積の瞬間の変化率）は \(2x\) となることがわかります。

1.2. \(x^3\) の微分の幾何学的意味

次は同じように \(f(x)=x^3\) について考えてみましょう。この計算は \(x\times x \times x\) と同じです。このような３つの値の掛け算は、立方体の体積に置き換えて考えるのがコツです。

参考に以下のアニメーションをご覧ください。

このように \(x^3\) は辺の長さが \(x\) の立方体の体積に置き換えて考えられます。

さて、それでは \(x\) の値が \(dx\) だけ増加したら体積はどうなるでしょうか。もちろん以下のアニメーションで示している通り、\(dx\) に応じて立方体の体積は \(df\) だけ増加します。

ご覧の通り、増えた体積 \(df\) は３つの大きな六面体 \(x \times x \times dx\) と、３つの細長い小さな六面体 \(x \times dx \times dx\)、そして１つの非常に小さな立方体 \(dx \times dx \times dx\) の合計である \(3x^2(dx)+3x(dx)^2+dx^3\) になります。

増加体積

\[df=3x^2(dx)+3x(dx)^2+dx^3\]

しかし、\(x^2\) の時と同じように、\(dx\) は限りなく０に近い値であるため、これを２回以上掛けている六面体の体積は、０と同じであると考えて良いことになります。つまり、実質的には最も大きな３つの六面体が増加体積の１００％を占めているのです。

このことは以下の画像で示している通り、\(dx\) をもっと小さくすると、視覚的にもわかりやすくなります。

x^3のdxによる体積の増加分のほぼすべては最も大きな３つの六面体が占めており、残りのものはほぼゼロと考えて良いことになります。

このことから増加体積は、実質的には \(df=3x^2(dx)\) になります。そして微分は、この体積の瞬間的な変化率（増加率）なので、\(dx\) で割って以下のように計算します。

体積の変化率

\[\dfrac{df}{dx}=\dfrac{3x^2(dx)}{dx}=3x^2\]

以上のことから \(x^3\) の微分（＝体積の瞬間の変化率）は \(3x^2\) になることがわかります。

1.3. \(x^n\) の微分の証明

それでは \(x^4\) 以上の微分はどうなるでしょうか？(x^4\) 以上になると４次元空間になってしまうので、人間の脳ではイメージすることは不可能です。そこで数式の出番になります。

なお、ここからは微分の定義式を使うので、もう一度、確認しておきましょう。

微分の定義式

\[
\frac{dy}{dx}=\lim_{dx \to 0} \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}
\]

ここまで見てきた \(x^2\) と \(x^3\) は、この定義式に当てはめると、以下のようになります。

\(f(x)=x^2\) の場合

\[\begin{eqnarray}
\dfrac{dy}{dx}
&=&
\dfrac{(x+dx)^2-x^2}{dx}\\
&=&
\dfrac{x^2+2x(dx)+(dx)^2-x^2}{dx}\\
&=&
\dfrac{2x(dx)+(dx)^2}{dx}\\
&=&
2x+dx\\
&=&
2x
\end{eqnarray}\]

※見切れている場合は右にスクロールすることができます。

\(f(x)=x^3\) の場合

\[\begin{eqnarray}
\dfrac{dy}{dx}
&=&
\dfrac{(x+dx)^3-x^3}{dx}\\
&=&
\dfrac{x^3+3x^2(dx)+3x(dx)^2+dx^3-x^2}{dx}\\
&=&
\dfrac{3x^2(dx)+3x(dx)^2+dx^3}{dx}\\
&=&
3x^2+3x(dx)+dx^2\\
&=&
3x^2
\end{eqnarray}\]

※見切れている場合は右にスクロールすることができます。

このように見てみると、定義式の \(f(x+dx)-f(x)\) の部分が面積や体積の増加分に該当することがわかります。

\[
\underbrace{\underbrace{f(x+dx)}_{全体面積(体積)}-\underbrace{f(x)}_{元の面積(体積)}}_{増加面積(体積)}\]

さて、ここまでで見てきた \(x^2\) の微分と \(x^3\) の微分には同じ法則がありました。その法則とは、\(x^2\) では \(dx\) による増加面積のほぼすべてが、もっとも大きな２つの長方形で成り立っており、\(x^3\) では \(dx\) による増加体積のほぼすべてが、もっとも大きな３つの六面体で成り立っているということです。

別の言い方をすれば、面積や体積の増加分の９９.９９９９ \(\cdots\)％は、\(dx\) が一回だけ掛かっている部分によるものであり、\(dx\) が２回以上掛かっている部分は無視できるほど小さいということです。

そしてこの法則は、ここまで見てきたアニメーションやイメージから類推できるように、すべての \(x^n\) に対して当てはまります。なぜなら、\((x+dx)^n-x^n\) の部分を展開すると、以下に示している通り、必ず同じようになるからです。

\[\begin{eqnarray}
(x+dx)^n-x^n
&=&
\overbrace{(x+dx)(x+dx)(x+dx)\cdots(x+dx)}^{n回}\\
&=&
x^n+nx^{n-1}dx+\overbrace{(\cdots \cdots \cdots)}^{dx^2 以上の掛け算}-x^n\\
&=&
nx^{n-1}dx+\overbrace{(\cdots \cdots \cdots)}^{\approx 0}
\end{eqnarray}\]

※見切れている場合は右にスクロールすることができます。

以上のことから、べき乗の微分の公式が成り立つことが証明されます。

\[\begin{eqnarray}
\dfrac{dy}{dx}
&=&
\dfrac{(x+dx)^n-x^n}{dx}\\
&=&
\dfrac{nx^{n-1}dx+\overbrace{(\cdots \cdots \cdots)}^{dx^2 以上の掛け算}}{dx}\\
&=&
nx^{n-1}dx
\end{eqnarray}\]

2. べき乗の微分公式の応用

ここまでは、\(x^n\) において \(n\) が自然数の場合を見てきました。それでは、\(n\) が負の値や分数の場合はどうなのかと言えば、全く同じです。

例えば、\(x^{-1}\)の微分は次のようになります。

\[
(x^{-1})^{\prime}=-1x^{-2}
\hspace{3mm}
\Longleftrightarrow
\hspace{3mm}
(\dfrac{1}{x})^{\prime}=-\dfrac{1}{x^2}
\]

そして、\(x^{\frac{1}{2}}\)の微分は次のようになります。

\[
(x^{\frac{1}{2}})^{\prime}=\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}
\hspace{3mm}
\Longleftrightarrow
\hspace{3mm}
(\sqrt{x})^{\prime}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
\]

このように、\(n\)が自然数以外の実数の場合でも、何も考えずに、べき乗の微分公式を当てはめることで簡単に解くことができます。しかし、これがどういうことなのかを幾何学的（視覚的）に理解しておくことには、とても大きな意味があります。

そういうわけで、これらについても理解を深めていきましょう。

2.1. \(x^{-n}\)の微分の幾何学的意味

\(x^{-1}=\dfrac{1}{x}\) のような負の数のべき乗は、以下に示しているように、元の数 \(x\) に掛けると \(1\) になるような数を意味しています。

負の数のべき乗の意味

\[\begin{eqnarray}
x^{-1}\cdot x &=& 1\\
x^{-2}\cdot x^2 &=& 1\\
&\vdots&\\
x^{-n}\cdot x^n &=& 1
\end{eqnarray}\]

ここでは、例として \(x^{-1}\) の微分を考えてみましょう。このような負の値のべき乗関数は、以下のアニメーションで示しているように、面積が常に１の長方形に置き換えてイメージできます。

さて、ここまで繰り返し見てきたように、微分を考えるということは、\(x\) の値がわずかに \(dx\) だけ変化したときの変化率を見るということです。

そして関数、\(f(x)=x^{-1}\) では、\(x\) の値が \(dx\) 増加すると、以下のアニメーションで示している通り、長方形の長さが \(dx\) 増加し、高さが \(d(\frac{1}{x})\) 減少します。この高さの変化を、長さの変化で割ったものが微分です。

このように、\(x^n\) において \(n\) が負の値のべき乗関数は、全て、同じように面積が常に１の長方形をイメージすることで、とても理解しやすくなります。

ぜひ一度、\(x^{-2}\) や \(x^{-3}\) の場合にどうなるかも考えてみてください。そうしたことを考えていると、驚くほど応用力が鍛えられていきます。

2.2. \(x^{\frac{1}{n}}\) の微分の幾何学的意味

続いて分数のべき乗の微分を考えてみましょう。分数のべき乗の意味は以下に示している通りです。

分数のべき乗の意味

\[\begin{eqnarray}
x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} &=&x \\
x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} &=& x\\
x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}} &=& x\\
& \vdots & \\
x^{\frac{1}{n}} \cdot x^{\frac{1}{n}} \cdot x^{\frac{1}{n}} \cdot x^{\frac{1}{n}} \cdots x^{\frac{1}{n}} &=& x
\end{eqnarray}\]

このように分数のべき乗は、複数回掛けると \(x\) になるような数を意味します。さて、それではこれの微分はどうなるでしょうか。\(x^{\frac{1}{2}}(=\sqrt{x})\) の微分を例に考えてみましょう。

まず、\(x^{\frac{1}{2}}\) は、以下のアニメーションで示しているように、面積が \(x\) の正方形の「辺」に置き換えてイメージすることができます。

それでは、この関数においては \(dx\) は何を意味するでしょうか。少し考えてみてください。\(x\) の値が面積を意味するということは…？そう関数 \(x^{\frac{1}{2}}\) では、\(dx\) は面積の増加分を意味するのです。以下のアニメーションで、このことをわかりやすく示しています。

さて、このように見てみると \(dx\) の値は、増加した面積 \(2(d\sqrt{x})(\sqrt{x})+(d(\sqrt{x}))^2\) と等しくなることがわかります。そして、ここまで見てきた通り、\((d(\sqrt{x}))^2\) はあまりにも小さい数であるため無視できますので、実質的には \(dx=2(d\sqrt{x})(\sqrt{x})\) になります。

あとは以下の通り \(\dfrac{dy}{dx}\) を計算すると公式通りの解が得られることがわかります。

\[\begin{eqnarray}
\dfrac{dy}{dx}&=&\dfrac{d(\sqrt{x})}{2(d(\sqrt{x}))(\sqrt{x})}\\
&=&
\dfrac{1}{2(\sqrt{x})}
\end{eqnarray}\]

\(x^{\frac{1}{3}}\) の場合も、まったく同じように考えることができます。辺の長さが \(\sqrt[3]{x}\) の立方体の体積が \(x\) になります。これについては、ご自身で書き出しながら考えてみて頂ければと思います。このように幾何学的に理解しておくと、公式を暗記する必要がなくなっていきますので、ぜひチャレンジしてみてください。

3. べき乗の微分公式のまとめ

以上がべき乗の微分公式と、その証明です。

公式の証明を、ここまで解説してきたように幾何学的なイメージで理解しておくと、より高度な数学を扱うときに非常に大きな助けとなります。また、統計学であれ、コンピューターサイエンスであれ、数学が重要な分野の知識を一歩先へと深める目的にもとても適しています。

ぜひ参考にして頂ければと思います。

べき乗（累乗）の微分公式-誰でも必ず深く理解できるように解説-