直交行列 | 行列の種類 | プログラマーのための線形代数

当ページでは直交行列について以下のことがわかります。

このページでわかること

直交行列の定義
直交行列の行列式
直交行列の逆行列
直交行列とユニタリー行列
直交行列の性質

直交行列とは

直交行列とは、正方行列であり、列ベクトルまたは行ベクトル同士がお互いに直角に交わっているもののことです。そして、ある行列の転置行列と逆行列が同じものになるとき、その行列は直交行列であることになります。または、ある行列とその転置行列の積が単位行列になるような行列が直交行列であるというようにも言えます。

なお、列ベクトルまたは行ベクトルが単位ベクトル（＝長さが 1 のベクトル）のとき、その直交行列は正規直交行列と言います。

まとめましょう。

行列 \(A\) が直交行列だとします。このとき以下が成り立ちます。

\[A^T=A^{-1}\]

そして、このとき同時に以下が成り立つことになります。

\[AA^T=I\]

たとえば以下の行列 \(A\) は直交行列です。

\[
A=
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}\\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}
\]

この行列の転置行列と逆行列は同じものになります。

\[\begin{eqnarray}
\overset{A^T}{
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\
– \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}}
=
\overset{A^{-1}}{
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}}
\end{eqnarray}\]

そのため、この行列 \(A\) とその転置行列 \(A^T\) を掛け算すると単位行列 \(I\) になります。

\[\begin{eqnarray}
\overset{A}{
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}\\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}}
\overset{A^{T}}{
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}}
=
\overset{I}{
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}}
\end{eqnarray}\]