このページでは、２次行列式、3次行列式、4次行列式のそれぞれの行列式の計算方法と、その覚え方を解説しています。さらに理解を深めるための練習問題も用意しています。お役に立てば嬉しく思います。
それでは見ていきましょう。
なお、ここで解説している計算方法で行列式の値を求められる理由は『行列式とは？意味と定義と求め方~行列式とは何か驚くほどよくわかる解説~』で解説しています。
1. ２次行列式 (2×2の行列式) の計算方法
２次行列式の計算方法は次の通りです。
２次行列式の計算方法
\[\begin{eqnarray}
\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right|
=ad-bc
\end{eqnarray}\]
これは以下のアニメーションで示しているように、右向きの対角線成分を掛け合わせたものを足し、左向きの対角線成分を掛け合わせたものを引く、というように覚えるのが一般的です。このたすき掛けによる覚え方を「サラスの方法」と言います。
以下にいくつか問題と解答を用意しているので、実際に計算してみましょう。
2. ３次行列式(3×3 の行列式)の計算方法
３次行列式の計算方法は次の通りです。
３次行列式の計算方法
\[\begin{eqnarray}
\left| \begin{array}{cc}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{array} \right|
=aei+bfg+cdh-bdi-afh-ceg
\end{eqnarray}\]
これもサラスの方法で覚えるのが一般的です。以下のアニメーションのように、行列式の右側に一列目と二列目を加えてから、右向きの対角線成分を掛け合わせたものを足し、左向きの対角線成分を掛け合わせたものを引きます。
以下に問題と解答を用意しているので、実際に計算して慣れておきましょう。
3. ４次行列式(4×4 の行列式)の計算方法
４次行列式以上になるとサラスの方法で計算することはできません。余因子を使った行列の展開が必要になります。これについては『余因子による行列式の展開とは？~アニメーションですぐわかる解説~』で解説しているので先にそちらをご確認ください。
それでは、以下の４次行列を使って見ていきましょう。
\[\begin{eqnarray}
\left[ \begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
\end{array} \right]
\end{eqnarray}\]
まずはこの行列を展開します。どの行どの列でもいいのですが、ここでは例として第一行について展開しましょう。
\[\begin{eqnarray}
\left| \begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
\end{array} \right|
&=&
a_{11}
\left| \begin{array}{cc}
a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{42} & a_{43} & a_{44}
\end{array} \right|
–
a_{12}
\left| \begin{array}{cc}
a_{21} & a_{23} & a_{24}\\
a_{31} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{43} & a_{44}
\end{array} \right|
+
a_{13}
\left| \begin{array}{cc}
a_{21} & a_{22} & a_{24}\\
a_{31} & a_{32} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{44}
\end{array} \right|
–
a_{14}
\left| \begin{array}{cc}
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43}
\end{array} \right|
\end{eqnarray}\]
こうして４次行列式を3次行列式の和で示すことができます。
3次行列式の計算方法はサラスの方法でわかっているので、あとはこれを計算するだけです。次のようになります。
\[\begin{eqnarray}
a_{11}(a_{22}a_{33}a_{44}+a_{23}a_{34}a_{42}+a_{24}a_{32}a_{43}-a_{22}a_{34}a_{43}-a_{23}a_{32}a_{44}-a_{24}a_{33}a_{42})\\
-a_{12}(a_{21}a_{33}a_{34}+a_{23}a_{34}a_{41}+a_{24}a_{31}a_{43}-a_{21}a_{34}a_{43}-a_{23}a_{31}a_{44}-a_{24}a_{33}a_{41})\\
+a_{13}(a_{21}a_{32}a_{44}+a_{22}a_{34}a_{41}+a_{24}a_{31}a_{42}-a_{21}a_{34}a_{42}-a_{22}a_{31}a_{44}-a_{24}a_{32}a_{41})\\
-a_{14}(a_{21}a_{32}a_{43}+a_{22}a_{33}a_{41}+a_{23}a_{31}a_{42}-a_{21}a_{33}a_{42}-a_{22}a_{31}a_{43}-a_{23}a_{32}a_{41})
\end{eqnarray}\]
これが４次行列式の計算方法です。
5次行列式以上のサイズになってもやり方は同じです。計算可能なかたちにまで行列式を展開してから計算します。しかし、これを手計算で行うのは、気が遠くなるほど面倒です。それにPythonなどのプログラム言語を使えば、あっという間に正しく計算してくれますので、今では手計算ができる必要性はほとんどありません。
それでも解いてみたいという方は、以下に４次行列式の問題と解答を一つだけ用意しましたのでチャレンジしてみてください。
まとめ
このように、２次行列式と３次行列式はサラスの方法によって、比較的簡単に手計算することが可能です。
ただし４次行列式以上では、行列式を展開して、3次以下の行列式の和にまで展開する必要があります。そして計算が非常に面倒なものになります。しかし幸運なことに、実際上は4次以上の行列式を手計算できる必要は特にありません。
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