cosの微分が-sinになる理由を誰でも簡単に理解できるように解説

cos(x)を微分すると-sin(x)になります。

なぜこうなるのでしょうか?その理由がわかると、単に公式を暗記するだけの場合と比べて、遥かに微分を深く理解できるようになります。そこで当ページでは、cosの微分について、誰でも理解できるようにアニメーションを使いながら、詳しく解説していきます。

それではさっそく見ていきましょう。

なおsinの微分については、『sinの微分はなぜcos?誰でも直観的に理解できるように解説』で解説しているので、ぜひ併せてご確認ください。

目次

1. cos とは

最初にcosについて簡単に復習しておきましょう。

cosは、単位円(半径が1の円)上にできる、角度をθ・斜辺の長さを1とする直角三角形の隣辺の長さのことです。そして、斜辺の長さが1ではないとしても、それが直角三角形であれば、sin の値は必ず「隣辺/斜辺」に等しくなります。

cos(θ)の長さは θが 0 と π(180度)のときに最長の 1 または -1 になり、1/2π(90度)のときと、 3/2π(270度)のときは 0 になります。

以下のアニメーションを確認すると思い出しやすいでしょう。

cos(余弦)とは

この cos(θ)の長さを、横軸がθ・縦軸がcos(θ)のグラフに描いたものが有名なコサインカーブ(余弦波)です。

コサインカーブ(余弦波)

以上がcosです。

2. cosの微分は−sin

冒頭でもお伝えした通り、cosの微分は-sinになります。以下のアニメーションで、このことを視覚的に確認することができます。

cos’θ=-sin’θ

cosの微分公式

\[
\cos^{\prime}(\theta)
=
-\sin(\theta)
\]

3. cosの微分の証明

さて、それではなぜ、cosの微分は-sinになるのでしょうか。

これの証明はsinの微分の証明とほとんど同じです。cosの微分は、θの値のわずかな変化 dθと、それによる cosθの値の変化 d(cos(θ)) との割り算で計算します。この計算が、どのようなものであるのかを視覚的に確認していくことでcosの微分が必ず-sinになることが明らかになるのです。

sinの微分の計算方法

\[
\cos^{\prime}(\theta)
=
\dfrac{df(x)}{dx}
=
\dfrac{d(\cos(\theta))}{d\theta}
\]

それでは、dθと d(cos(θ)) はそれぞれ何を意味するのでしょうか。このような三角関数について考える時は、単位円上の直角三角形をイメージするのが鉄板です。

なお、単位円をイメージする際は、「ラジアン」の知識が必須になります。そこで、まずはラジアンとは何だったかを復習しておきましょう。

3.1. ラジアンの復習

ラジアンとは、単位円上の直角三角形の「なす角(θ)」であると同時に、その角度の時の孤の長さでもあります。θが 1 ラジアンの時は孤の長さも 1 になりますし、θが 2 ラジアンの時は孤の長さも 2 になります。そして、2π (6.28) ラジアンが円周の長さに相当します。

角度で言えば、2πラジアン=360° になります。

以下のアニメーションをご覧頂くと、より簡単に理解できるでしょう。

ラジアンの復習

このラジアンの知識はcosに限らず、三角関数の微分を考える上でのカギとなります。もしこの説明で不十分な場合は、各自でしっかりと学び直しておきましょう。

3.2. dθと d(cos(θ)) の幾何学的意味

さて、それでは dθと d(cos(θ)) は単位円上において何を意味するでしょうか。

まずθは孤の長さなので、θが dθ増加した時は当然、孤が dθ長くなります。そしてd(cos(θ))はθが dθ変化した時の cos(θ) の変化です。これらは視覚的に確認すると、とてもよく分かるようになりますので、ぜひ以下のアニメーションをご覧ください。

dθとd(cos(θ))の幾何学的意味

3.3. cosの微分は「-対辺/斜辺」と同じ

このdθとd(cos(θ))が作る小さな直角三角形に注目してみましょう。そう、これは元々の直角三角形と相似形になっているのです。このことから、「d((cos(θ))/dθ」の計算は、「-対辺/斜辺」の計算をしているものであることがわかります。

なお、対辺に負の符号がついているのは、dθが増加すれば d((cos(θ)) が減少し、dθが減少すれば d((cos(θ)) が増加するという関係にあるからです。

話を戻すと、「対辺/斜辺」はまさにsinの定義そのものです。以上のことから、cosの微分は必ず-sinとなるのです。

以下のアニメーションで、ぜひ、このことについての理解を深めてください。

\(\cos^{\prime}(\theta)=-\sin(\theta)\) の証明

\[
\sin^{\prime}(\theta)
=
\dfrac{dy}{dx}
=
\dfrac{d(\cos(\theta))}{d\theta}
=
\dfrac{−対辺}{斜辺}
=
-\sin(\theta)
\]

4. cosの微分のまとめ

以上がcosの微分の解説です。

単に公式を暗記して問題を解くだけの場合よりも、こうやって、「なぜ?」を考えていくことには、とても大きな価値があります。少しでも参考になったなら嬉しく思います。



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