log（対数関数）の微分を誰でも理解できるように丁寧に解説

2021 4/17

2021年4月17日

対数関数 log の微分は、指数関数と並んで、微分学において重要な分野です。そこで、当ページではlogの微分について、誰でも理解できるように丁寧に開設していきたいと思います。

具体的には、以下のことがわかるようになります。

対数関数(log)とは何かが簡潔にわかる。
log の微分公式がわかる。
log の微分公式の証明がわかる。

なお、より理解を深めるには、当ページと、『指数関数の微分を誰でも理解できるように解説』を併せてご覧いただくのが良いでしょう。なぜなら、対数関数と指数関数は対になっているからです。

それでは、早速見ていきましょう。

1. 対数関数とは

対数関数は、身近な例だけでも、以下のような現象を表す重要な関数です。

水素イオンの指数を示すpH
騒音の程度を示すフォーン
地震の強さを示すマグニチュード
星の明るさを示す光度

また、その性質上、掛け算を足し算に変えるという特徴があるので、急激な変化を和らげる関数としても使われます。

ここでは、この対数関数に関して、以下の２点を簡潔におさらいしておきたいと思います。

対数(log)
対数関数

それでは早速見ていきましょう。

1.1. 対数（log）とは

対数とは、一言でいうと、指数関数における指数のことです。指数関数は以下の通り、指数部分が変数になっている関数のことでした。

指数

そして対数とは、この中から指数部分だけを抜き出して、以下のように書きあらためたもののことを言います。

対数

つまり対数とは、「\(y\) となるような \(a\) の指数 \(x\) は何か？」を示す値なのです。なお \(\log\) 記号は、英語で対数を意味する “logarithm” の頭文字を取ったものです。以下で指数と対数を見比べてみましょう。

指数関数と対数関数の比較

\[\begin{eqnarray}
2^1=2 \ \ &\longleftrightarrow& \ \ 1=\log_{2}2\\
2^2=4 \ \ &\longleftrightarrow& \ \ 2=\log_{2}4\\
2^3=8 \ \ &\longleftrightarrow& \ \ 3=\log_{2}8\\
&\vdots&\\
2^x=y \ \ &\longleftrightarrow& \ \ x=\log_{2}y\\
\end{eqnarray}\]

以上が対数 \(\log\) です。

1.2. 対数関数とは

対数関数とは、底は一定で、真数の部分を変数 \(x\) にしたもののことです。

対数関数

\[
f(x) = \log_{a}x\\
{}_{a>0, \ a\neq 1}
\]

この対数関数グラフは底が \(a > 1\) の場合と、\(0 < a < 1\) の場合で異なります。

まず底が \(a > 1\) の場合は下図のような曲線を描きます。ご覧のように、\(a\) の値が大きくなるほど、傾きが緩やかになっていきます。比較しやすくするために対となる指数関数も描いています。

底が \(0 < a < 1\) の場合はこれとは逆になります。

なお、\(\log x\) のように底の値が明示されていない場合は、底をネイピア数 \(e\) とした自然対数 \(\log_{e}a\) であることを意味します。ネイピア数 \(e\) はとても面白い数字であり、次のような性質があります。

ネイピア数 \(e\) と実数の関係

\[\begin{eqnarray}
n&=&e^{\log_{e}n}\\
&\vdots&\\
2&=&e^{\log_{e}2}\\
3&=&e^{\log_{e}3}\\
4&=&e^{\log_{e}4}\\
\end{eqnarray}\]

これについては、『指数関数の微分を誰でも理解できるように解説』でも詳しく触れているので、ぜひご確認ください。

2. log の微分公式

さて、それでは対数関数（log）の微分はどのようになるのでしょうか。ここでは、その微分公式と、実際の関数と導関数のグラフを確認しましょう。なお、公式は対数の底がネイピア数 \(e\) の場合と、それ以外の場合で異なります（厳密には同じですが、底が \(e\) の場合の方が楽になります）。

それでは見てみましょう。

2.1. 対数関数 \(\log_ax\) の微分公式

対数関数の微分公式は次の通りです。

対数関数の微分公式

\[
(\log_a x)^{\prime}=\dfrac{1}{x \log_e a}
\]

底が \(2\) の場合のグラフを確認してみましょう。

2.2. 自然対数関数 \(\log_ex\) の微分公式

次に対数の底がネイピア数 \(e\) の場合は、次の通りになります。

自然対数関数の微分公式

\[
(\log x)^{\prime}=\dfrac{1}{x}
\]

グラフで視覚的に確認してみましょう。

3. log の微分の証明

それでは、対数関数 log の微分は、なぜこれらの公式で求められるのでしょうか。ここでは、この点について考えていきましょう。

3.1. \(\log_{a}x \) の微分の証明

底がネイピア数 \(e\) ではない対数関数 \(\log_{a}x\) の微分を、微分の定義式を使って求めてみましょう。すると、以下のようになります。

対数関数 \(\log_{a}x\) の微分を定義式から求める①

\[\begin{eqnarray}
(\log_{a}x)^{\prime}
&=&
\dfrac{\log_{a}(x+dx)-\log_{a}(x)}{dx}\\
&=&
\dfrac{1}{dx}
\left \{
\log_{a}(x+dx)-\log_{a}(x)
\right \}\\
&=&
\dfrac{1}{dx}
\log_{a}\left( \dfrac{x+dx}{x} \right)\\
&=&
\dfrac{1}{dx}
\log_{a}\left(
1+ \dfrac{dx}{x}
\right)\\
&=&
\log_{a}\left(
1+ \dfrac{dx}{x}
\right)^{\frac{1}{dx}}
\end{eqnarray}\]

※ 3段目は対数公式 \(\log_aM-\log_aN=log_a \frac{M}{N}\) より。
※ 5段目は対数公式：\(k\log_aM=\log_aM^k\) より。

ここで、\(\frac{dx}{x}=dX\) と置きます。\(dx\) はほぼ \(0\) である値なので、\(dX\) もほぼ \(0\) になります。そのため、次のように数式を変換することが可能です。

対数関数 \(\log_{a}x\) の微分を定義式から求める②

\[\begin{eqnarray}
\log_{a}\left(
1+ \dfrac{dx}{x}
\right)^{\frac{1}{dx}}
&=&
\log_{a}(1+dX)^{\frac{1}{x \cdot dX}}\\
&=&
\log_{a} \{(1+dX)^{\frac{1}{dX}} \}^{\frac{1}{x}}
\end{eqnarray}\]

※ 1段目の指数部分は \(\frac{dx}{x}=dX\) より \(dx=x \cdot dX\) となる。
※ 2段目は指数公式 \(a^{mn}=(a^m)^n\) より。

さて、ここで \(\log\) に渡している値 \((1+dX)^{\frac{1}{dX}}\) に注目してみましょう。そう、これはネイピア数 \(e\) の定義そのものになっています（これを計算すると \(2.718 \cdots \) という数字が現れます）。

このことから以下のように変換することができます。

対数関数 \(\log_{a}x\) の微分を定義式から求める③

\[\begin{eqnarray}
\log_{a} \{(1+dX)^{\frac{1}{dX}} \}^{\frac{1}{x}}
&=&
\log_{a} e^{\frac{1}{x}} \\
&=&
\dfrac{1}{x} \log_{a}e\\
&=&
\dfrac{1}{x} \dfrac{1}{\log_{e}a}\\
&=&
\dfrac{1}{x\log_{e}a}
\end{eqnarray}\]

※ 2段目は対数公式 \(k\log_aM=\log_aM^k\) より。
※ 3段目は対数公式 \(\log_{a}b=\dfrac{1}{log_{b}a}\) より。

以上より、公式が導き出されました。